El Vikipedio, la libera enciklopedio
En matematiko, formuloj de Viète estas formuloj kiuj ligas koeficientoj de polinomo kun ĝiaj radikoj. La formuloj estas faritaj de François Viète.
Estu polinomo
![{\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n},\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cfe6ed23b76f6481ce507d8cd487d86c2d2bf81)
kun radikoj
, ĉiu radiko estas listigata en kvanto egala al ĝia obleco.
Tiam la koeficientoj
estas simetriaj funkcioj de la radikoj:
![{\displaystyle a_{1}=-(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6682fdad538550b69d620508bfc51d4902980d5)
![{\displaystyle a_{2}=\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{1}\alpha _{3}+\ldots +\alpha _{1}\alpha _{n}+\alpha _{2}\alpha _{3}+\ldots +\alpha _{n-1}\alpha _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e14fdb3cbb51238fc98bf0b69819f66f83e34169)
![{\displaystyle a_{3}=-(\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}+\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{4}+\ldots +\alpha _{n-2}\alpha _{n-1}\alpha _{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dca8c5b83753145441d321fa9dd811a83a3a51d7)
- ...
![{\displaystyle a_{n-1}=(-1)^{n-1}(\alpha _{1}\alpha _{2}\ldots \alpha _{n-1}+\alpha _{1}\alpha _{2}\ldots \alpha _{n-2}\alpha _{n}+\ldots +\alpha _{2}\alpha _{3}...\alpha _{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e510672b928fd5a92cb3cf1595afdf176a278e2)
![{\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}\alpha _{1}\alpha _{2}\ldots \alpha _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac2fc226e5587208c9a49163e6fc162a617846bd)
Alivorte,
egalas al sumo de ĉiuj eblaj produtoj de k radikoj (estas prenataj nur radikoj kun diversaj indeksoj).
El la formuloj sekvas ke se ĉiuj radikoj estas entjeroj do ĉiuj koeficientoj estas entjeroj, kaj
dividiĝas per ĉiu el la radikoj.
Se la koeficiento
, do por uzo de la formulo necesas dividi la tutan polinomon je
, tiam la radikoj ne ŝanĝiĝas.
Por kvadrata ekvacio
- ax2+bx+c=0
kun radikoj r1 kaj r2
![{\displaystyle r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a79cf16c18498aab680324d0c87f6ffc0d3da97)
![{\displaystyle r_{1}\cdot r_{2}={\frac {c}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3485ae10e5fa39d547a7961fb4abd5ab80429d)
La formuloj povas esti pruvitaj per konsidero de egaleco
![{\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n}=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3837a95d21bd4524b08414787eb3986384a2cafa)
kie la dekstra flanko estas la faktorigita formo de la polinomo.
Post multipliko de eroj de la dekstra flanko, koeficientoj ĉe egalaj potencoj de x devas esti egalaj, el kio sekvas la formuloj de Viète.