Kvadrata funkcio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Matematikaj funkcioj
Fonto-aro, Celo-aro, Bildo, Kontraŭcelo-aro
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζηW de Lambertde Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecoenĵetecosurĵetecoensurĵeteco
kontinuecoderivaĵecoinegralebleco
f(x) = x2 - x - 2 = (x+1)(x−2).
La radikoj estas -1 kaj 2.

En matematiko, kvadrata funkcio estas polinoma funkcio de la grado 2, do de formo:

f(x)=ax2+bx+c

kie a≠0.

Ekvacio en kiu la kvadrata funkcio estas egala al nulo estas la kvadrata ekvacio. La solvaĵoj (radikoj) de la ekvacio estas nuloj de la funkcio.

Radikoj[redakti | redakti fonton]

La du radikoj de la kvadrata ekvacio ax2+bx+c=0, kie a≠0, estas:

 x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}

Estu diskriminanto D = b2-4ac. Tiam:

  • Se D = 0 do la du radikoj estas egalaj pro tio ke √D estas nulo, aŭ ĉi tio povas esti konsiderata kiel ekzisto de unu radiko de obleco 2.
  • Se D ≠ 0 kaj se konsideri nur reelajn valorojn x do (a, b kaj c estas reelaj):
    • Se D > 0 do estas du malsamaj radikoj pro tio ke √D estas pozitiva reela nombro.
    • Se D < 0 do la radikoj forestas.
  • Se D ≠ 0 kaj se konsideri kompleksajn valorojn x do nepre estas du malsamaj radikoj.
    • Se a, b kaj c estas reelaj kaj D > 0 do estas du malsamaj radikoj pro tio ke √D estas pozitiva reela nombro.
    • Se a, b kaj c estas reelaj kaj D < 0 do la du radikoj estas kompleksaj konjugitoj ĉar √D estas pure imaginara.
    • Se a, b kaj c estas kompleksaj en ĝenerala okazo, la radikoj estas du diversaj kompleksaj nombroj.

Estu la radikoj (eble kompleksaj):

 r_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}
 r_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}

Tiam oni povas faktorigi la funkcion:

f(x) = ax2+bx+c = a (x - r1) (x - r2)

Formuloj de Viète[redakti | redakti fonton]

Formuloj de Viète donas simplajn rilatojn inter radikoj kaj koeficientoj de la funkcio.

 r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}
 r_1 \cdot r_2 = \frac{c}{a}

La formuloj estas faritaj de François Viète.

Grafikaĵo[redakti | redakti fonton]

La grafikaĵo de reela kvadrata funkcio estas parabolo kies simetria akso estas paralela al la y-akso.

Function ax^2.jpg
f(x) = ax2 + x por a el {0,1, 0,3, 1, 3}
Function x^2+(1 to 4)x.jpg
f(x) = x2 + bx por b el {1, 2, 3, 4}
Function x^2-(1 to 4)x.jpg
f(x) = x2 + bx por b el {-1, -2, -3, -4}

Se a > 0 la parabolo havas branĉoj supren. Se a < 0 la parabolo havas branĉoj suben.

La koeficiento a regas la rapidon de pligrandiĝo de la funkcio ekde la vertico, pli granda pozitiva a faras la funkcion pligrandiĝantan pli rapide kaj la grafikaĵon pli fermitan.

La koeficiento b sola estas la inklino de la parabolo je sekco kun la y-akso.

La koeficientoj a kaj b kune regas la x-koordinaton de la vertico, aŭ la simetriakson de la parabolo.

La koeficiento c sola estas la y-koordinato de sekco de la parabolo kun la y-akso, aŭ ĝenerale ĝi regas alto de la parabolo.

La x-koordinatoj de sekco de la parabolo y=f(x) kun la x-akso estas radikoj de la ekvacio f(x)=0.

La vertico de parabolo estas la loko kie ĝi turnas sian direkton de supren al suben aŭ reen, ĝi estas nomata ankaŭ kiel la turnopunkto.

La funkcio povas esti skribita ankaŭ en la norma formovertica formo:

f(x) = a(x-h)2 + k

Tiam la vertico estas (h, k).

Se

f(x)=ax2+bx+c

do

 f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2-4ac}{4 a}

kaj la vertico estas:

 (-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4 a})

 (\frac{r_1 + r_2}{2}, f(\frac{r_1 + r_2}{2}))

La vertico estas ankaŭ la maksimuma punkto se a < 0 kaj la minimuma punkto se a > 0.

La vertikalo kiu pasas tra la vertico

x=h

 x=-\frac{b}{2a}

estas simetriakso de la parabolo.

Kvadrata radiko de kvadrata funkcio[redakti | redakti fonton]

La kvadrata radiko de kvadrata funkcio priskribas elipson aŭ al hiperbolon (por reelaj x kaj y).

Estu ekvacio:

 y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c}

aŭ ekvivalente:

 y^2 = a x^2 + b x + c
  • Se a<0 do la ekvacio priskribas elipson aŭ nenion.
    • Se la y-koordinato de la maksimuma punkto de la respektiva parabolo  y_p = a x^2 + b x + c \, estas pozitiva, tiam la ekvacio priskribas elipson.
    • Se la y-koordinato estas negativa tiam la ekvacio priskribas malplenan aron de punktoj.
  • Se a>0 do la ekvacio priskribas hiperbolon. La akso de la hiperbolo estas difinita per la y-koordinato de la minimuma punkto de la respektiva parabolo  y_p = a x^2 + b x + c \,.
    • Se la y-koordinato estas negativa, do la hiperbola akso estas horizontala.
    • Se la y-koordinato estas pozitiva, do la hiperbola akso estas vertikala.

Multvariabla kvadrata funkcio[redakti | redakti fonton]

Multvariabla kvadrata funkcio estas polinoma funkcio de la grado 2 de D+1 variabloj, en koordinatoj \{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_D\} en D+1-dimensia spaco ĝi estas

 \sum_{i,j=0}^D Q_{i,j} x_i x_j + \sum_{i=0}^D P_i x_i + R = 0

kie Q estas D+1 dimensia kvadrata matrico ne egala al la nula matrico kaj P estas D+1 dimensia vektoro kaj R estas nombro. Ĝenerale, la loko de nuloj de ĉi tia funkcio estas kvadriko.

Duvariabla kvadrata funkcio estas polinoma funkcio de la grado 2 de du variabloj, do de formo:

f(x,y) = A x2 + B y2 + C x + D y + E x y + F

La funkcio priskribas kvadratan surfacon z=f(x,y). Ekvacio f(x,y)=0 priskribas la komunaĵon de la surfaco kun la ebeno z=0, kiu komunaĵo estas koniko.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]