Transformo de Möbius

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Matematikaj funkcioj
Fonto-aro, Celo-aro, Bildo, Kontraŭcelo-aro
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζηW de Lambertde Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecodisĵetecosurĵetecodissurĵeteco
kontinuecoderivaĵecointegralebleco
Transformo de Möbius devus esti ne konfuzita kun la konverto de Möbius kaj la funkcio de Möbius.

En matematiko, Transformo de Möbius estas bijekcia konforma bildigo de la etenda kompleksa ebeno (kio estas la kompleksa ebeno pligrandigita per la punkto je malfinio):

La aro de ĉiuj transformoj de Möbius formas grupon sub komponaĵo nomita kiel la grupo de Möbius. Transformoj de Möbius estas nomataj ankaŭ kiel frakciaj linearaj transformoj.

Ĝenerala priskribo[redakti | redakti fonton]

La möbius-a grupo estas la aŭtomorfia grupo de la rimana sfero

Certaj subgrupoj de la möbius-a grupo formas aŭtomorfiajn grupojn de la aliaj simple-koneksaj rimanaj surfacoj (la kompleksa ebeno kaj la hiperbola ebeno). Kiel tia, möbius-aj transformoj ludas gravan rolon en la teorio de rimanaj surfacoj. La kovranta grupo de ĉiu rimana surfaco estas diskreta subgrupo de la möbius-a grupo (vidu grupon de Klein). möbius-aj transformoj estas ankaŭ proksime rilatanta al (izometrioj, izometrias) de hiperbolaj 3-duktoj.

Aparte grava subgrupo de la möbius-a grupo estas la modula grupo; ĝi estas centralo al la teorio de multaj fraktaloj, modulaj formoj, elipsaj kurboj.

Difino[redakti | redakti fonton]

La ĝenerala formo de transformo de Möbius estas donita per

kie a, b, c, d estas kompleksaj nombroj tiuj ke ad_bc_ ≠ 0. Ĉi tiu difino povas esti etendita al la tuta Rimana sfero (la kompleksa ebeno plus la punkto je malfinio) kun du specialaj okazoj:

  • la punkto estas mapita al
  • la punkto estas mapita al

Oni povas havi Möbius-ajn transformojn por la reelaj nombroj kaj ankaŭ por la kompleksaj nombroj. En ambaŭ okazoj, oni bezonas pligrandigi la domajnon per punkto je malfinio.

La kondiĉo adbc ≠ 0 asekuras ke la transformo estas inversigebla). La inversa transformo estas donita per

kun la samaj specialaj okazoj.

Malfiniigantoj de la transformo[redakti | redakti fonton]

La punkto

estas la malfiniiganto de ; ĉe tiu punkto, la valoroj de estas mallime grandaj.

La inversa malfiniiganto

estas la punkto al kiu la punkto je malfinio estas bildigata. La punkto _midway_ inter la du (polusoj, polusas) estas ĉiam la sama kiel la punkto _midway_ inter la du fiksaj punktoj:

Ĉi tiuj kvar punktoj estas verticoj de paralelogramo kiu estas kelkfoje nomata la karakteriza paralelogramo de la transformo.

(Konverti, Konverto) povas esti precizigita kun du fiksaj punktoj kaj la poluso .

Ĉi tiu permesas al ni derivi formulo por konvertiĝo inter kaj donita :

Kiu reduktas lanugo al

La lasta esprimo koincidas kun unu de la (reciproke (reciproka, reciprokaĵo, inverso)) ajgeno (rilatoj, rilatas, kvocientoj, kvocientas) de la matrico

(figuranta, prezentanta) la (konverti, konverto) (kompari la diskuto en la antaŭvenanta sekcio pri la karakteriza konstanto de transformo). Ĝia karakteriza polinomo estas egala al

kiu havas (radikoj, radikas)

Preciziganta transformo per tri punktoj[redakti | redakti fonton]

Proksimumo per rekta maniero[redakti | redakti fonton]

Ĉiu aro de tri punktoj

unike difinas transformon . Por kalkuli ĉi tiun eksteren, estas oportune utiligi transformon, tio estas per ebeno kun tri punktoj sur (0,0), (1, 0) kaj la punkto je malfinio.

Unu povas forigi la (infinitoj, infinitas, malfinioj, malfinias, nefinioj, nefinias) per multiplikante ekster per kaj kiel antaŭe (tononomis, notita).

La matrico al mapo sur tiam iĝas

Vi povas multipliki ĉi tiu ekster, se vi bezono, sed se vi estas skribanta kodo tiam ĝi's pli simpla al uzi nedaŭra (variabloj, variablas) por la mezo (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas).

Eksplicita determinanta formulo[redakti | redakti fonton]

La problemo de konstruanta Transformo de Möbius (mapanta, bildigo) triopo al alia triopo estas ekvivalento al trovanta la ekvacio de norma hiperbolo

en la (z,w)-ebeno (trairanta, pasanta) tra la punktoj . Eksplicita ekvacio povas troviĝi per pritaksanta la determinanto

per Laplaca elvolvaĵo laŭ la unua (linio, vico). Ĉi tiuj rezultoj en la determinantaj formuloj

por la koeficientoj de la (figuranta, prezentanta) matrico . La konstruis matrico havas determinanto egala al kiu ne nuliĝi se la zmi _resp_. wmi estas duoplarĝa malsama tial la Transformo de Möbius estas bone-difinita.

Mallaŭdo: A simila determinanto (kun (anstataŭigita, anstataŭigis) per ) (plumboj, plumbas, kondukas) al la ekvacio de cirklo tra tri malsama (ne samrekta) punktoj en la ebeno.

Cetera maniero uzante kruci-rilatojn de kvar punktoj[redakti | redakti fonton]

Ĉi tiu konstruado ekspluatas la fakton (menciitan en la unua sekcio), ke la kruci-rilato

estas invarianto sub Transformo de Möbius (mapanta, bildigo) kvaropo al tra . Se (mapoj, mapas) triopo de duoplarĝa malsama zmi al alia triopo , tiam la Transformo de Möbius estas difinita per la ekvacio

aŭ skribita ekster en (betono, konkreta) (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas):

La lasta ekvacio povas esti konvertita enen

Solvanta ĉi tiu ekvacio por unu ricevas la _sought_ transformo.

Rilato al la fiksa punkta normala formo

Alpreni (tiu, ke, kiu) la punktoj estas la du (malsama) fiksaj punktoj de la Konverto de Möbius kio estas . Skribi . La lasta ekvacio

tiam legas

En la antaŭa sekcio sur normala forma Konverto de Möbius kun du fiksaj punktoj estita esprimita uzanta la karakteriza konstanto k de la (konverti, konverto) kiel

(Komparanta, Kontrastiganta) ambaŭ esprimoj unu derivas la egaleco

kie estas malsama de la fiksaj punktoj kaj estas la bildo de z1 sub . En aparta la kruci-rilato ne dependi sur la elekto de la punkto z (malsama de la du fiksaj punktoj) kaj estas egala al la karakteriza konstanto.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Referencoj[redakti | redakti fonton]

  • (Celita je ne-matematikistoj, provizas bonegan montraĵon pri teorio kaj rezultoj, riĉe ilustrita per figuroj.)
  • (Vidi ĉapitrojn 3-5 de ĉi tiu klasika libro por bela enkonduko al la Rimana sfero, stereografia projekcio, kaj Möbius-transformoj.)
  • (Vidu ĉapitron 3 por bele ilustrita enkonduko al transformoj de Möbius inkludanta ilian klasifikon)
  • Vidi ĉapitron 2.
  • (Vidi Ĉapitron 2 por diversaj izomorfioj, kaj por la Lorenca grupo vidita kiel Galezagrupo.)
  • (Vidi ĉapitron 6 por la klasifiko, supren al konjugacio de la kruca algebro de la Lorenca grupo.)

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]