Transformo de Möbius

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Matematikaj funkcioj
Fonto-aro, Celo-aro, Bildo, Kontraŭcelo-aro
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζηW de Lambertde Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecoenĵetecosurĵetecoensurĵeteco
kontinuecoderivaĵecoinegralebleco
Transformo de Möbius devus esti ne konfuzita kun la konverto de Möbius kaj la funkcio de Möbius.

En matematiko, Transformo de Möbius estas bijekcia konforma bildigo de la etenda kompleksa ebeno (kio estas la kompleksa ebeno pligrandigita per la punkto je malfinio):

\widehat{\mathbb{C}} = \mathbb{C}\cup\{\infty\}.

La aro de ĉiuj transformoj de Möbius formas grupon sub komponaĵo nomita kiel la grupo de Möbius. Transformoj de Möbius estas nomataj ankaŭ kiel frakciaj linearaj transformoj.

Ĝenerala priskribo[redakti | redakti fonton]

La möbius-a grupo estas la aŭtomorfia grupo de la rimana sfero

\mbox{Aut}(\widehat\mathbb C).

Certaj subgrupoj de la möbius-a grupo formas aŭtomorfiajn grupojn de la aliaj simple-koneksaj rimanaj surfacoj (la kompleksa ebeno kaj la hiperbola ebeno). Kiel tia, möbius-aj transformoj ludas gravan rolon en la teorio de rimanaj surfacoj. La kovranta grupo de ĉiu rimana surfaco estas diskreta subgrupo de la möbius-a grupo (vidu grupon de Klein). möbius-aj transformoj estas ankaŭ proksime rilatanta al (izometrioj, izometrias) de hiperbolaj 3-duktoj.

Aparte grava subgrupo de la möbius-a grupo estas la modula grupo; ĝi estas centralo al la teorio de multaj fraktaloj, modulaj formoj, elipsaj kurboj.

Difino[redakti | redakti fonton]

La ĝenerala formo de transformo de Möbius estas donita per

z \mapsto \frac{a z + b}{c z + d}

kie a, b, c, d estas kompleksaj nombroj tiuj ke ad_bc_ ≠ 0. Ĉi tiu difino povas esti etendita al la tuta Rimana sfero (la kompleksa ebeno plus la punkto je malfinio) kun du specialaj okazoj:

  • la punkto z = -d/c estas mapita al \infty
  • la punkto z=\infty estas mapita al a/c

Oni povas havi Möbius-ajn transformojn por la reelaj nombroj kaj ankaŭ por la kompleksaj nombroj. En ambaŭ okazoj, oni bezonas pligrandigi la domajnon per punkto je malfinio.

La kondiĉo adbc ≠ 0 asekuras ke la transformo estas inversigebla). La inversa transformo estas donita per

z \mapsto \frac{d z - b}{-c z + a}

kun la samaj specialaj okazoj.

Malfiniigantoj de la transformo[redakti | redakti fonton]

La punkto

z_\infty = - \frac{d}{c}

estas la malfiniiganto de \mathfrak{H}; ĉe tiu punkto, la valoroj de \mathfrak{H}(z)=\frac{az+b}{cz+d} estas mallime grandaj.

La inversa malfiniiganto

Z_\infty = \frac{a}{c}

estas la punkto al kiu la punkto je malfinio estas bildigata. La punkto _midway_ inter la du (polusoj, polusas) estas ĉiam la sama kiel la punkto _midway_ inter la du fiksaj punktoj:

\gamma_1 + \gamma_2 = z_\infty + Z_\infty

Ĉi tiuj kvar punktoj estas verticoj de paralelogramo kiu estas kelkfoje nomata la karakteriza paralelogramo de la transformo.

(Konverti, Konverto) \mathfrak{H} povas esti precizigita kun du fiksaj punktoj \gamma_1, \gamma_2 kaj la poluso z_\infty.

\mathfrak{H} =
\begin{pmatrix}
 Z_\infty & - \gamma_1 \gamma_2 \\
 1 & - z_\infty
\end{pmatrix}, \;\;
 Z_\infty = \gamma_1 + \gamma_2 - z_\infty

Ĉi tiu permesas al ni derivi formulo por konvertiĝo inter k kaj z_\infty donita \gamma_1, \gamma_2:

z_\infty = \frac{k \gamma_1 - \gamma_2}{1 - k}
k
= \frac{\gamma_2 - z_\infty}{\gamma_1 - z_\infty}
= \frac{Z_\infty - \gamma_1}{Z_\infty - \gamma_2}
= \frac {a - c \gamma_1}{a - c \gamma_2}

Kiu reduktas lanugo al

k = \frac{(a + d) + \sqrt {(a - d)^2 + 4 b c}}{(a + d) - \sqrt {(a - d)^2 + 4 b c}}

La lasta esprimo koincidas kun unu de la (reciproke (reciproka, reciprokaĵo, inverso)) ajgeno (rilatoj, rilatas, kvocientoj, kvocientas)  \lambda_1\over \lambda_2 de la matrico

\mathfrak{H} =
\begin{pmatrix}
 a & b \\
 c & d
\end{pmatrix}

(figuranta, prezentanta) la (konverti, konverto) (kompari la diskuto en la antaŭvenanta sekcio pri la karakteriza konstanto de transformo). Ĝia karakteriza polinomo estas egala al


 \mbox{det} (\lambda I_2- \mathfrak{H})
=\lambda^2-\mbox{tr} \mathfrak{H}\,\lambda+
\mbox{det} \mathfrak{H}
=\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)

kiu havas (radikoj, radikas)

 \lambda_{i}=\frac{(a + d) \pm \sqrt {(a - d)^2 + 4 b c}}{2}=\frac{(a + d) \pm \sqrt {(a + d)^2 - 4(ad-b c)}}{2} \ .

Preciziganta transformo per tri punktoj[redakti | redakti fonton]

Direkto (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo)[redakti | redakti fonton]

(Ĉiu, Iu) aro de tri punktoj


 Z_1 = \mathfrak{H}(z_1), \;\;
 Z_2 = \mathfrak{H}(z_2), \;\;
 Z_3 = \mathfrak{H}(z_3)

unike difinas transformo \mathfrak{H}. Al kalkuli ĉi tiu ekster, ĝi estas oportuna al utiligi transforma tio estas pova mapo tri punktoj sur (0,0), (1, 0) kaj la punkto je malfinio.

\mathfrak{H}_1 = \begin{pmatrix}
\frac{z_2 - z_3}{z_2 - z_1} & -z_1 \frac{z_2 - z_3}{z_2 - z_1}
\\ 1 & -z_3
\end{pmatrix}, \;\;
\mathfrak{H}_2 = \begin{pmatrix}
\frac{Z_2 - Z_3}{Z_2 - Z_1} & -Z_1 \frac{Z_2 - Z_3}{Z_2 - Z_1}
\\ 1 & -Z_3
\end{pmatrix}

Unu povas forigi la (infinitoj, infinitas, malfinioj, malfinias, nefinioj, nefinias) per multiplikante ekster per z_2 - z_1 kaj Z_2 - Z_1 kiel antaŭe (tononomis, notita).

\mathfrak{H}_1 = \begin{pmatrix}
z_2 - z_3 & z_1 z_3 - z_1 z_2
\\ z_2 - z_1 & z_1 z_3 - z_3 z_2
\end{pmatrix}
, \;\;
\mathfrak{H}_2 = \begin{pmatrix}
Z_2 - Z_3 & Z_1 Z_3 - Z_1 Z_2
\\ Z_2 - Z_1 & Z_1 Z_3 - Z_3 Z_2
\end{pmatrix}

La matrico \mathfrak{H} al mapo z_{1,2,3} sur Z_{1,2,3} tiam iĝas

\mathfrak{H} = \mathfrak{H}_2^{-1} \mathfrak{H}_1

Vi povas multipliki ĉi tiu ekster, se vi bezono, sed se vi estas skribanta kodo tiam ĝi's pli simpla al uzi nedaŭra (variabloj, variablas) por la mezo (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas).

Eksplicita determinanta formulo[redakti | redakti fonton]

La problemo de konstruanta Transformo de Möbius  \mathfrak{H}(z) (mapanta, bildigo) triopo  (z_1, z_2, z_3 ) al alia triopo ( w_1, w_2, w_3 ) estas ekvivalento al trovanta la ekvacio de norma hiperbolo

\, c wz -az+dw -b=0

en la (z,w)-ebeno (trairanta, pasanta) tra la punktoj  (z_i, w_i ) . Eksplicita ekvacio povas troviĝi per pritaksanta la determinanto

\det \begin{pmatrix} zw & z & w & 1 \\ z_1w_1 & z_1 & w_1 & 1 \\ z_2w_2 & z_2 & w_2 & 1 \\ z_3w_3 & z_3 & w_3 & 1
\end{pmatrix}
\,

per Laplaca elvolvaĵo laŭ la unua (linio, vico). Ĉi tiuj rezultoj en la determinantaj formuloj

a=\det \begin{pmatrix} z_1w_1 & w_1 & 1 \\ z_2w_2 & w_2 & 1 \\ z_3w_3 & w_3 & 1
\end{pmatrix}
\,
b=\det \begin{pmatrix} z_1w_1 & z_1 & w_1 \\ z_2w_2 & z_2 & w_2 \\ z_3w_3 & z_3 & w_3
\end{pmatrix}
\,
c=\det \begin{pmatrix} z_1 & w_1 & 1 \\ z_2 & w_2 & 1 \\ z_3 & w_3 & 1
\end{pmatrix}
\,
d=\det \begin{pmatrix} z_1w_1 & z_1 & 1 \\ z_2w_2 & z_2 & 1 \\ z_3w_3 & z_3 & 1
\end{pmatrix}

por la koeficientoj  a,b,c,d de la (figuranta, prezentanta) matrico \, \mathfrak{H} =\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} . La konstruis matrico  \mathfrak{H} havas determinanto egala al  (z_1-z_2) (z_1-z_3)(z_2-z_3)(w_1-w_2) (w_1-w_3)(w_2-w_3) kiu ne nuliĝi se la zmi _resp_. wmi estas duoplarĝa malsama tial la Transformo de Möbius estas bone-difinita.

Mallaŭdo: A simila determinanto (kun  wz (anstataŭigita, anstataŭigis) per  w^2+z^2 ) (plumboj, plumbas, kondukas) al la ekvacio de cirklo tra tri malsama (ne samrekta) punktoj en la ebeno.

(Alterna, Alterni) maniero uzanta (kruci-rilatoj, kruci-rilatas) de punkto (kvaropoj, kvaropas)[redakti | redakti fonton]

Ĉi tiu konstruado ekspluatas la fakto (menciis en la unua sekcio) (tiu, ke, kiu) la kruci-rilato


\mbox{cr}(z_1,z_2,z_3,z_4)=
{{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}\over{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}}

estas invarianto sub Transformo de Möbius (mapanta, bildigo) kvaropo  (z_1,z_2,z_3,z_4) al  (w_1,w_2,w_3,w_4) tra w_i=\mathfrak{H}z_i. Se \mathfrak{H} (mapoj, mapas) triopo  (z_1,z_2,z_3) de duoplarĝa malsama zmi al alia triopo  (w_1,w_2,w_3) , tiam la Transformo de Möbius \mathfrak{H} estas difinita per la ekvacio


\mbox{cr}(\mathfrak{H}(z),w_1,w_2,w_3)=\mbox{cr}(z,z_1,z_2,z_3)

aŭ skribita ekster en (betono, konkreta) (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas):


{{(\mathfrak{H}(z)-w_2)(w_1-w_3)}
\over{(\mathfrak{H}(z)-w_3)(w_1-w_2)}}
={{(z-z_2)(z_1-z_3)}\over{(z-z_3)(z_1-z_2)}}\ .

La lasta ekvacio povas esti konvertita enen


{{\mathfrak{H}(z)-w_2}
\over{\mathfrak{H}(z)-w_3}}
={{(z-z_2)(w_1-w_2)(z_1-z_3)}\over{(z-z_3)(w_1-w_3)(z_1-z_2)}} \ .

Solvanta ĉi tiu ekvacio por  \mathfrak{H}(z) unu ricevas la _sought_ transformo.

Rilato al la fiksa punkta normala formo

Alpreni (tiu, ke, kiu) la punktoj  z_2,\, z_3 estas la du (malsama) fiksaj punktoj de la Konverto de Möbius  \mathfrak{H} kio estas  w_2=z_2, \, w_3=z_3. Skribi  z_2 =\gamma_1,\, z_3 =\gamma_2 . La lasta ekvacio


{{\mathfrak{H}(z)-w_2}
\over{\mathfrak{H}(z)-w_3}}
={{(z-z_2)(w_1-w_2)(z_1-z_3)}\over{(z-z_3)(w_1-w_3)(z_1-z_2)}}

tiam legas


{{\mathfrak{H}(z)-\gamma_1}
\over{\mathfrak{H}(z)-\gamma_2}}
={{(w_1-\gamma_1)(z_1-\gamma_2)}\over {(w_1-\gamma_2)(z_1-\gamma_1)}}\cdot {{z-\gamma_1}\over {z-\gamma_2}}\ .

En la antaŭa sekcio sur normala forma Konverto de Möbius kun du fiksaj punktoj  \gamma_1, \gamma_2 estita esprimita uzanta la karakteriza konstanto k de la (konverti, konverto) kiel


{{\mathfrak{H}(z)-\gamma_1}
\over{\mathfrak{H}(z)-\gamma_2}}
=k\,{{z-\gamma_1}\over {z-\gamma_2}}\ .

(Komparanta, Kontrastiganta) ambaŭ esprimoj unu derivas la egaleco

 k={{(w_1-\gamma_1)(z_1-\gamma_2)}\over {(w_1-\gamma_2)(z_1-\gamma_1)}}=\mbox{cr}(w_1,z_1,\gamma_1,\gamma_2) \ ,

kie  z_1 estas malsama de la fiksaj punktoj  \gamma_1 ,\, \gamma_2 kaj  w_1=\mathfrak{H}(z_1) estas la bildo de z1 sub  \mathfrak{H} . En aparta la kruci-rilato  \mbox{cr}(\mathfrak{H}(z),z,\gamma_1,\gamma_2) ne dependi sur la elekto de la punkto z (malsama de la du fiksaj punktoj) kaj estas egala al la karakteriza konstanto.

Vidi ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Referencoj[redakti | redakti fonton]

  • (Celita je ne-(matematikistoj, matematikistas), provizas bonega ekspozicio de teorio kaj rezultoj, riĉe ilustris kun figuroj.)
  • (Vidi (Ĉapitroj, Ĉapitras) 3-5 de ĉi tiu klasika libro por bela enkonduko al la Rimana sfero, _stereographic_ projekcio, kaj Mö_bius_ (transformoj, transformas).)
  • (Vidu ĉapitron 3 por bele ilustrita enkonduko al transformoj de Möbius inkluzivantan ilian klasifikon)
  • Vidi Ĉapitro 2.
  • (Vidi Ĉapitro 2 por diversaj (izomorfioj, izomorfias), kaj por la Lorenca grupo vidita kiel Galezagrupo.)
  • (Vidi Ĉapitro 6 por la klasifiko, supren al _conjugacy_, de la (Mensogi, Kuŝi) (subalgebroj, subalgebras) de la (Mensogi, Kuŝi) algebro de la Lorenca grupo.)

Ekstera (ligoj, ligas)[redakti | redakti fonton]

-->