Bildaro

Diagramo de funkcio. La ruĝa elipso signifas la fontan aron; la blua elipso, la celan aron, kaj la flava elipso, la bildaron.

En matematiko, la bildaro de funkcio estas la aro de la bildoj de ĉiuj elementoj el la argumentaro de la funkcio — alivorte, la aro de ĉiuj bildoj, kiujn la funkcio difinas. La bildaro estas ĉiam subaro de la cela aro simile al tio, ke argumentaro estas subaro de la fonta aro de la funkcio.

Difino

Supozu bildigon $f\colon X\to Y$, kies argumentaro estas la aro $X$ kaj kies celaro estas la aro $Y$.

La bildo de la argumento (elemento de la argumentaro) $x\in X$ per la bildigo $f\colon X\to Y$ estas la elemento $f(x)\in Y$ de la celaro.

La bildo de subaro $A\subseteq X$ de la argumentaro per la bildigo $f\colon X\to Y$ estas la aro de ĉiuj bildoj de elementoj de ĉi tiu subaro:

$f[A]=\{y\in Y\colon \exists _{a\in A}\ f(a)=y\}$.

Alivorte, la bildo de aro per funkcio estas la aro de ĉiuj eblaj valoroj, kiujn la funkcio povas havi por argumentoj el la elektita aro.

La bildaro de la bildigo $f\colon X\to Y$ estas la aro de ĉiuj bildoj, aŭ alivorte la bildo de la tuta argumentaro:

$f[X]=\{y\in Y\colon \exists _{x\in X}f(x)=y\}$.

La bildo de bildigo estas ĉiam subaro de la celaro. Bildigo, kies celaro egalas la bildaron, nomiĝas surjekcio.

La simbola notacio por bildo de aro $A$ estas $f[A]$ aŭ pli ofte $f(A)$. Tamen la dua formo povas misgvide sugesti, ke la subaro A estas argumento de la funkcio $f$.

Ecoj

Kalkuladoj de la bildo de aro konserviĝas ne sub ĉiuj operacioj sur aroj. Se $A,B\subset X$, kaj $(A_{i})_{i\in I}$ estas aro de aroj, tiam:

• $f\left[\bigcup _{i\in I}A_{i}\right]=\bigcup _{i\in I}f[A_{i}]$
• $f\left[\bigcap _{i\in I}A_{i}\right]\subseteq \bigcap _{i\in I}f[A_{i}]$

El superaj ecoj rezultas rekte subaj:

• $f[A\cap B]\subseteq f[A]\cap f[B]$ (egaleco por enĵeto)
• $f[A\cup B]=f[A]\cup f[B]$
• $f[A]\setminus f[B]\subseteq f[A\setminus B]$