Rimana ζ funkcio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Pri la aliaj funkcioj estas skribataj per la litero ζ rigardu en funkcio ζ (apartigilo).

Matematikaj funkcioj
Fonto-aro, Celo-aro, Bildo, Kontraŭcelo-aro
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζηW de Lambertde Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecodisĵetecosurĵetecodissurĵeteco
kontinuecoderivaĵecointegralebleco

Funkcio: zeto de Riemann – unu el specialaj funkcioj, nomita post Bernhard Riemann kaj difinata per formulo:

Serio estas konverĝa por z-oj , kiuj reala parto estas pli granda ol 1. Por la aliaj z estas uzata la analitika vastigaĵo.

Kun funkcio estas kunigata unu el plej gravaj problemoj de hodiaŭa matematiko – hipotezo de Riemann.

Ecoj[redakti | redakti fonton]

Por nombroj kiuj havas realan parton malpli granda ol 1, valoro de funkcio ζ povas esti kalkulita el formulo:

kaj estas funkcio Γ de Euler.


Diagramo de ζ(x)[redakti | redakti fonton]

Zeta.png

Kelkaj valoroj[redakti | redakti fonton]

La funkcio Zeto kiel Malfinia Produto[redakti | redakti fonton]

Ojler montris ke

Ĉi tiu formulo veras por ĉiu kies reela parto estas pli ol .

Ojler deduktis tion sekvamaniere. Unue, rimarku ke

Per subtraho, oni trovas

En la dekstra flanko, estas nur la malparaj entjeroj. Pro tio,

Alia subtraho vidigas ke

Ĉiu nombro dividebla per estante subtrahita, supre restas nur la malparaj nombroj kiuj estas nedivideblaj per . Simile,

kie, en la dekstra flanko, aperas la entjeraj nombroj kiujn oni ne povas dividi per (kaj nur tiuj).

Induktive, en la maldekstra flanko aperas la produto , kaj la dekstra nombra konverĝas al . Oni tuj atingas la proponatan egalecon.

Rimarko: la serio kiu definas konverĝas absolute, se la reala parto de estas pli ol . Tio permesas montri que la dekstra limito estas .