Primo-kalkulanta funkcio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Matematikaj funkcioj
Fonto-aro, Celo-aro, Bildo, Kontraŭcelo-aro
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζηW de Lambertde Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecoenĵetecosurĵetecoensurĵeteco
kontinuecoderivaĵecoinegralebleco

En matematiko, la primo-kalkulanta funkcio estas la funkcio π(x) kies valoro estas kvanto de primoj malpli grandaj ol aŭ egala al ĝia argumento - reela nombro x. (Ĝi estas malsama la nombro π, kvankam la sama litero estas uzata).

La unuaj valoroj de π(n)

Kreskada kurzo[redakti | redakti fonton]

Granda intereso en nombroteorio estas al la kreskada kurzo de la primo-kalkulanta funkcio. Estis konjektite en la fino de la 18-a jarcento de Carl Friedrich Gauss kaj Adrien-Marie Legendre ke ĝi estas proksimume x/ln x en la senco ke

\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\pi(x)}{x/\operatorname{ln}(x)}=1

Ĉi tiu frazo estas la prima teoremo. Ekvivalenta frazo estas

\lim_{x\rightarrow\infty}\pi(x) / \operatorname{li}(x)=1

kie li estas la logaritma integrala funkcio. Ĉi tio estis unue pruvita en 1896 de Jacques Hadamard kaj Charles Jean de la Vallée-Poussin sendepende, uzante propraĵojn de la rimana ζ funkcio prezentitaj de Bernhard Riemann en 1859.

Pli precizaj pritaksoj de π(x) estas nun sciataj, ekzemple

\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O \left( x \exp \left( -\frac{\sqrt{\ln(x)}}{15} \right) \right)

kie O estas la granda O. Pruvoj de la prima teoremo ne uzantaj la zetan funkcion aŭ kompleksan analitikon estis trovitaj ĉirkaŭ 1948 de Atle Selberg kaj Paŭlo Erdős grandparte sendepende.

Alia konjekto pri la kreskada kurzo por prima serio engaĝante la priman teoremon estas

 \sum_{p \le x} p^{n} \sim \pi(x^{n+1}) \sim Li(x^{n+1})

Tabelo de π(x), x / ln x, kaj li(x)[redakti | redakti fonton]

x π(x) π(x) - x / ln x li(x) - π(x) x / π(x)
10 4 -0,3 2,2 2,500
102 25 3,3 5,1 4,000
103 168 23 10 5,952
104 1229 143 17 8,137
105 9592 906 38 10,425
106 78498 6116 130 12,740
107 664579 44158 339 15,047
108 5761455 332774 754 17,357
109 50847534 2592592 1701 19,667
1010 455052511 20758029 3104 21,975
1011 4118054813 169923159 11588 24,283
1012 37607912018 1416705193 38263 26,590
1013 346065536839 11992858452 108971 28,896
1014 3204941750802 102838308636 314890 31,202
1015 29844570422669 891604962452 1052619 33,507
1016 279238341033925 7804289844393 3214632 35,812
1017 2623557157654233 68883734693281 7956589 38,116
1018 24739954287740860 612483070893536 21949555 40,420
1019 234057667276344607 5481624169369960 99877775 42,725
1020 2220819602560918840 49347193044659701 222744644 45,028
1021 21127269486018731928 446579871578168707 597394254 47,332
1022 201467286689315906290 4060704006019620994 1932355208 49,636
1023 1925320391606803968923 37083513766578631309 7250186216 51,939

La valoro por π(1023) estas de Tomás Oliveira e Silva.

Algoritmoj por komputado de π(x)[redakti | redakti fonton]

Simpla maniero por kalkuli π(x) se x estas ne tro granda estas per kribrilo de Eratosteno produkti la primojn kaj poste kalkuli ilin.

Pli ellaborita vojo kalkuli π(x) estas de Adrien-Marie Legendre: por donita x, se p1, p2, …, pk estas malsamaj primoj, kvanto de entjeroj malpli grandaj ol aŭ egalaj al x kiu estas divideblaj per neniu el pi estas

\lfloor x\rfloor - \sum_{i}\left\lfloor\frac{x}{p_i}\right\rfloor + \sum_{i<j}\left\lfloor\frac{x}{p_ip_j}\right\rfloor - \sum_{i<j<k}\left\lfloor\frac{x}{p_ip_jp_k}\right\rfloor + \cdots

(kie \lfloor\cdot\rfloor estas la planka funkcio). Ĉi tiu nombro estas pro tio egala al

\pi(x)-\pi\left(\sqrt{x}\right)+1

kiam la nombroj p1, p2, …, pk estas la primoj malpli grandaj ol aŭ egalaj al la kvadrata radiko de x.

En serio de artikoloj publikigita inter 1870 kaj 1885, Ernst Meissel priskribis kaj uzis praktikan kombinan manieron de komputado de π(x). Estu p1, p2, …, pn la unuaj n primoj kaj estu Φ(m, n) kvanto de naturaj nombroj ne pli grandaj ol m kiuj estas divideblaj per neniu el pi. Tiam

\Phi(m, n)=\Phi(m, n-1)-\Phi\left(\left[\frac{m}{p_n}\right], n-1\right)

Por donita natura nombro m, se n=\pi\left(\sqrt[3]{m}\right) kaj se \mu=\pi\left(\sqrt{m}\right)-n, tiam

\pi(m)=\Phi(m, n)+n(\mu+1)+\frac{\mu^2-\mu}{2}-1-\sum_{k=1}^\mu\pi\left(\frac{m}{p_{n+k}}\right)

Uzante ĉi tiun manieron, Meissel komputis π(x) por x egala al 5·105, 106, 107, kaj 108.

En 1959, Derrick Henry Lehmer etendis kaj simpligis la manieron de Meissel. Estu, por reela m kaj naturaj n, k, Pk(m, n) kvanto de entjeroj ne pli grandaj ol m kun akurate k primaj faktoroj, ĉiuj pli granda ol pn. Ankaŭ estu P0(m, n)=1. Tiam

\Phi(m, n)=\sum_{k=0}^{+\infty}P_k(m, n)

kie la sumo reale havas nur finie multajn nenulajn erojn. Estu y entjero tia ke \sqrt[3]{m}\le y\le\sqrt{m}, kaj estu n=π(y). Tiam P1(m, n)=π(m)-n kaj Pk(m, n)=0 por k≥3. Pro tio

π(m) = Φ(m, n)+n-1-P2(m, n)

La kalkulado de P2(m, n) povas esti farita kiel

P_2(m, n)=\sum_{y<p\le\sqrt{m}}\left(\pi\left(\frac mp\right)-\pi(p)+1\right)

Aliflanke, la kalkulado de Φ(m, n) povas esti farita per jenaj reguloj:

\Phi(m, 0)=\lfloor m\rfloor
\Phi(m, b)=\Phi(m, b-1)-\Phi\left(\frac m{p_b}, b-1\right)

Per ĉi tia maniero sur komputilo IBM 701, Lehmer estis pova komputi valoron π(1010).

Hwang Cheng uzis jenajn identojn:

 e^{(a-1)\Theta}f(x)=f(ax) \,
 J(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\pi(x^{1/n})}{n}

kun preno de x=et, kun laplaca konverto de ambaŭ flankoj kaj aplikado de geometria sumo sur e. Tiam rezultiĝas

 \frac{1}{2{\pi}i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}g(s)t^{s}\,ds = \pi(t)
 \frac{\ln \zeta(s)}{s}=(1-e^{\Theta(s)})^{-1}g(s)
 \Theta(s)=s\frac{d}{ds}

Aliaj primo-kalkulantaj funkcioj[redakti | redakti fonton]

Unu el la aliaj primo-kalkulantaj funkcioj estas π0(x) kies valoro je ĉiu punkto de nekontinueco egalas al averaĝo de valoroj je la du flankoj de ĉi tiu punkto:

\pi_0(x) = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\frac{\pi(x-\varepsilon)+\pi(x+\varepsilon)}2

Tiel ekzemple:

π0(x)=1 por 2<x<3
π0(3)=3/2
π0(x)=2 por 3<x<5

Ankoraŭ unu el la aliaj primo-kalkulantaj funkcioj estas la rimana primo-kalkulanta funkcio, kutime skribata kiel Π0(x). Ĉi tiu funkcio pligrandiĝas je 1/n je ĉiu prima potenco pn, kaj ĝia valoro je ĉiu punkto de nekontinueco egalas al averaĝo de valoroj je la du flankoj de ĉi tiu punkto. Ĉi tiu aldonita detalo estas ĉar tiam la funkcio povas esti difinita per inverso de konverto de Mellin. Tiel Π0(x) estas

\Pi_0(x) = \frac12 \bigg(\sum_{p^n < x} \frac1n\ + \sum_{p^n \le x} \frac1n\bigg)

kie ĉiu p estas primo. Aŭ

\Pi_0(x) = \sum_2^x \frac{\Lambda(n)}{\ln n} - \frac12 \frac{\Lambda(x)}{\ln x} = \sum_{n=1}^\infty \frac1n \pi_0(x^{1/n})

kie Λ(n) estas la funkcio de von Mangoldt.

Inversiga formulo de Möbius tiam donas ke

\pi_0(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}n \Pi_0(x^{1/n})

Per interrilato inter logaritmo de la rimana ζ funkcio kaj la funkcio de von Mangoldt kaj per la formulo de Perron rezultiĝas

\ln \zeta(s) = s \int_0^\infty \Pi_0(x) x^{-s+1}\,dx

En la funkcioj de Ĉebiŝev por primoj aŭ primaj potencoj pn estas sumataj valoroj ln(p):

\theta(x)=\sum_{p\le x}\ln p
\psi(x) = \sum_{p^n \le x} \ln p = \sum_{n=1}^\infty \theta(x^{1/n}) = \sum_{n\le x}\Lambda(n)

Formuloj por primo-kalkulantaj funkcioj[redakti | redakti fonton]

Estas jena esprimo por ψ(x):

\psi_0(x) = x - \sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho} - \ln 2\pi - \frac12 \ln(1-x^{-2})

kie

\psi_0(x) = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\frac{\psi(x-\varepsilon)+\psi(x+\varepsilon)}2

Ĉi tie ρ estas la nuloj de la rimana ζ funkcio en la kritika filmo, kie la reela parto de ρ estas inter 0 kaj 1. La formulo estas valida por x>1, kio estas la regiono de intereso. La sumo tra la radikoj estas kondiĉe konverĝa, kaj devas esti sumata en ordo de pligrandiĝo de absoluta valoro de la imaginara parto. La sama sumo tra la bagatelaj radikoj donas la lasta subtrahaton en la formulo. La nuloj en la kritika filmo estas en kompleksaj konjugitaj paroj, do la sumo estas reela.

Por Π0(x) estas pli komplika formulo

\Pi_0(x) = \operatorname{li}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{li}(x^{\rho}) - \ln 2 + \int_x^\infty \frac{dt}{t(t^2-1) \ln t}

Denove, la formulo estas valida por x>1, kaj ρ estas la netrivialaj nuloj de la zeta funkcio ordigitaj laŭ ilia absoluta valoro, kaj, denove, la lasta integralo, prenita kun minuso, estas ĝuste la sama sumo sed tra la bagatelaj nuloj. La unua membro li(x) estas la kutima logaritma integrala funkcio; la esprimo li(xρ) en la dua membro devas esti konsiderata kiel Ei(ρ ln x), kie Ei estas la analitika vastigaĵo de la eksponenta integrala funkcio de pozitivaj reelaj nombroj al la kompleksa ebeno kun branĉa tranĉo laŭ la negativaj reelaj nombroj.

Tiel inversiga formulo de Möbius donas ke

\pi_0(x) = \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^{\rho}) - \frac1{\ln x} + \frac1\pi \arctan \frac\pi{\ln x}

por x>1, kie

\operatorname{R}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \mu (n)}{n} \operatorname{li}(x^{1/n}) = 1 + \sum_{k=1}^\infty \frac{(\ln x)^k}{k! k \zeta(k+1)}

estas tiel nomata kiel rimana R-funkcio. La lasta serio por ĝi estas sciata kiel grama serio kaj konverĝas por ĉiuj pozitivaj x.

La δ funkcio (ruĝa) en logaritma skalo

La sumo tra nuloj de zeta funkcio en la kritika filmo en la formulo por π0(x) priskribas la fluktuojn de π0(x), kaj la cetera eroj donas la glatan parton. Se la rimana hipotezo veras, la amplitudo de la fluktuoj estas heŭristike proksimume \scriptstyle\sqrt x/\ln x, tiel la fluktuoj de la distribuo de primoj povas esti prezentitaj per la delta funkcio:

\Delta(x) = \left( \pi_0(x) - \operatorname{R}(x) + \frac1{\ln x} - \frac1{\pi}\arctan\frac{\pi}{\ln x} \right) \frac{\ln x}{\sqrt x}

Neegalaĵoj[redakti | redakti fonton]

Jen estas iuj neegalaĵoj pri π(x):

 \pi(x) < 1,25506 \frac{x}{\log x} por x > 1
 \frac {x} {\log x + 2} < \pi(x) < \frac {x} {\log x - 4} por x ≥ 55

Estis konjekto ke π(x) ≤ li(x) por ĉiu pozitiva entjero x, ĝi estas malpruvita, vidu pli detale en artikolo nombro de Skewes.

Jen estas iuj neegalaĵoj por la n-a primo pn:

n ln n + n ln ln n - n < pn < n ln n + n ln ln n por n ≥ 6, la maldekstra neegalaĵo veras eĉ por n ≥ 1

Proksimumado por la n-a primo estas

 p_n = n \ln n + n \ln \ln n - n + \frac {n \ln \ln n - 2n} {\ln n} + O\left( \frac {n (\ln \ln n)^2} {(\ln n)^2}\right)

La rimana hipotezo[redakti | redakti fonton]

La rimana hipotezo estas ekvivalenta al multe pli strikta baro por la eraro en la pritakso por π(x), kaj de ĉi tie al pli regula distribuo de primoj:

\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O(\sqrt{x} \log{x})

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]