Funkcio de eraro

Matematikaj funkcioj
Aroj: fonta aro, argumentaro, bildaro, cela aro (suma klarigo) • malbildo
Fundamentaj funkcioj
Algebraj funkcioj: konstanta • lineara • kvadrata • polinoma • racionala • Transformo de Möbius Aliaj funkcioj: trigonometriaj • inversa trigonometria • hiperbola • eksponenta • logaritma • potenca
Specialaj funkcioj
erara • β • Γ • ζ • η • W de Lambert • de Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τ • σ • de Möbius • φ • π • λ
Ecoj:
totaleco kaj parteco • pareco kaj malpareco • monotoneco • bariteco • periodeco • disĵeteco • surĵeteco • dissurĵeteco kontinueco • derivaĵeco • integralebleco

Funkcio de eraro de Gauss — ne fundamenta funkcio, kiu estas en probablokalkulo, statistiko kaj en teorio de partaj diferencialaj ekvacioj. Ĝi estas difinita kiel:

{\text{erf}}\left(x\right)={2 \over {\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t

Funkcio ${\text{erf}}$ estas strikte kunigita kun koopta funkcio de eraro ${\text{erfc}}$ :

${\text{erfc}}\left(x\right)$	$\equiv 1-{\text{erf}}\left(x\right)$
	$={2 \over {\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t$

Oni povas difini ankaŭ kompleksan funkcion de eraro $w\left(x\right)$ , ĝi estas ankaŭ nomata kiel funkcio de Faddeeva:

w(x)=e^{-x^{2}}{\text{erfc}}\left(-ix\right)

Ecoj

Funkcio de eraro estas malpara: ${\text{erf}}\left(z\right)=-{\text{erf}}\left(-z\right)$
Kompleksa konjugito de argumento kaŭzas kompleksa konjugito de funkcio: ${\text{erf}}\left(z^{*}\right)=\left({\text{erf}}\left(z\right)\right)^{*}$
Por entjeroj funkcio havas limesojn kiel sube:
: ${\text{erf}}\left(\pm \infty \right)=\pm 1$
Por imaginara:
: ${\text{erf}}\left(\pm i\infty \right)=\pm i\infty$
Derivaĵo kaj malderivaĵo de funkcio de eraro estas forte ligita kun normala distribuo:
: ${d \over dz}{\text{erf}}\left(z\right)={2 \over {\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}$
: $F\left(z\right)=z\,{\text{erf}}\left(z\right)+{e^{-z^{2}} \over {\sqrt {\pi }}}$

La funkcio de eraro povas esprimi kiel disvolvo en serio de Taylor:

{\text{erf}}\left(x\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)n!}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\ \cdots \right)

por ĉiu reala x.

Por $|x|\ll 1$ , valoro de funkcio de eraro povas facile kalkuli uzante:

{\text{erf}}\left(x\right)={2 \over {\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{2^{n} \over \left(2n+1\right)!!}x^{2n+1}={2 \over {\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}\left(x+{2x^{3} \over 1\cdot 3}+{4x^{5} \over 1\cdot 3\cdot 5}+{8x^{7} \over 1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}+\cdots \right)

kaj k!! signifas Duopa faktorialo de k.

Por $|x|\gg 1$ , facila estas suba disvolvo:

{\text{erf}}\left(x\right)=1-{e^{-x^{2}} \over {\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}(2n-1)!! \over 2^{n}}x^{-2n-1)}=1-{e^{-x^{2}} \over {\sqrt {\pi }}}\left({1 \over x}-{1 \over 2x^{3}}+{1\cdot 3 \over 4x^{5}}-{1\cdot 3\cdot 5 \over 8x^{7}}+\cdots \right)

Milton Abramowitz-a kaj Ireno A. Stegun, eds. Gvidlibro de Matematikaj Funkcioj kun Formuloj, Grafikaĵoj, kaj Matematikaj Tabeloj. (Novjorko): Dovero, 1972. (Vidi Ĉapitro 7)