Funkcio η

Por samtitola artikolo vidu la paĝon Funkcio de Dirichlet.

Funkcio η (aŭ funkcio η de Dirichlet — funkcio difinita por kompleksaj argumentoj, kiel:

$\eta (z)=\left(1-2^{1-z}\right)\zeta (z)$

kaj $\zeta (z)$ - funkcio ζ de Riemann.

Ceteraj difinoj

• Difino per senfina serio:
• :$\eta (z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{z}}}$ .
• Difino per integralo:
• :$\eta (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{z-1}}{e^{x}+1}}\,dx$
• :kaj $\Gamma (z)$ — funkcio Γ

Ecoj

• Reala parto de funkcio η kaj reala parto de funkcio kun kompleksa konjugita argumento estas sama:
• :${\mbox{Re}}(\eta (z))={\mbox{Re}}(\eta (z^{*}))$
• Imaginara parto de funkcio kaj imaginara parto de funkcio kun kompleksa konjugita argumento estas kontraŭa:
• :${\mbox{Im}}(\eta (z))=-{\mbox{Im}}(\eta (z^{*}))$
• Limeso en senfino egalas 1:
• :$\lim _{{\mbox{Re}}(z)\to \infty }\eta (z)=1$
• Rekte videbla estas, ke (el supraj ecoj):
• :$\lim _{Re(z)\to \infty }{\mbox{Re}}(\eta (z))=1$
• :$\lim _{Re(z)\to \infty }{\mbox{Im}}(\eta (z))=0$ .

Grafikaĵoj

• 
  η(x) por realaj nombroj. Imaginara parto estas nulo
• 
  Grafikaĵo de funkcio η(z) por tuta kompleksa surfaco.