Beta-funkcio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Matematikaj funkcioj
Fonto-aro, Celo-aro, Bildo, Kontraŭcelo-aro
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζηW de Lambertde Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecodisĵetecosurĵetecodissurĵeteco
kontinuecoderivaĵecointegralebleco


Ĉi tiu artikolo temas pri la Eŭlera beta-funkcio, konvencie skribata Β(x,y). Ekzistas ankaŭ aliaj beta-funkcioj en matematiko kaj fiziko.

La matematika beta-funkcio, alinome Eŭlera integralo de la unua speco, estas speciala funkcio, kiun oni difinas por kompleksaj nombroj x kaj y kun pozitiva reela parto:


kiam


La beta-funkcion studis Leonhard Euler kaj Adrien-Marie Legendre, kaj la nomon al ĝi donis Jacques Binet. Ekzistas ankaŭ ĝeneraligo de la funkcio, t.n. nekompleta beta-funkcio kaj ties variaĵo reguligita nekompleta beta-funkcio.


Ecoj de la funkcio[redakti | redakti fonton]

  • , t.e., la funkcio estas simetria.

La funkcio povas esti prezentita ankaŭ per sekvaj formuloj

Derivaĵo[redakti | redakti fonton]

kie estas la digamma-funkcio.

Aproksimaĵo[redakti | redakti fonton]

Oni povas aproksimi la beta-funkcion per la formulo de Stirling:

por grandaj: x kaj y.

Sed se x estas granda kaj y estas konstanta, tiam validas

Nekompleta beta-funkcio[redakti | redakti fonton]

La nekompleta beta-funkcio, estas ĝeneraligo de la beta-funkcio kaj difinita kiel

Por x = 1, la nekompleta funkcio egalas al la kompleta funkcio.

Reguligita (senkompleta) beta-funkcio estas difinita kiel


Integrante la formulon, oni ricevas por entjeraj a kaj b:

Pri la reguligita beta-funkcio validas