Integralo de Euler

Integralo de Euler estas kolekto de integraloj kun parametro. Integralo de unua genero estas funkcio β kaj de dua genero estas funkcio Γ.

1. Funkcio β:

   $\mathrm B(x,y) = \int\limits_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,\quad\mathrm{dla}\quad \Re(x), \Re(y) > 0$

2. Funkcio Γ:

   $\Gamma(z) = \int_0^{+\infty} t^{z-1} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t$

Kunligoj inter funkcioj

$\mathrm B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$

$\int\limits_0^{\pi/2} sin^{2 a +1} x cos^{2 b + 1} x\,dx = \frac{\Gamma(a+1)\Gamma(b+1)}{2 \Gamma(a+b+2)} = \frac{1}{2} \Beta(a+1,b+1)$

Historio

Pierre-Simon LAPLACE donis en 1774 jenan eksplicitan formon