Integralo de Euler

Integralo de Euler estas kolekto de integraloj kun parametro. Integralo de unua genero estas funkcio β kaj de dua genero estas funkcio Γ.

1. Funkcio β:

   $\mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,\quad \mathrm {dla} \quad \Re (x),\Re (y)>0$$\mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,\quad \mathrm {dla} \quad \Re (x),\Re (y)>0$

2. Funkcio Γ:

   $\Gamma (z)=\int _{0}^{+\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t$$\Gamma (z)=\int _{0}^{+\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t$

Kunligoj inter funkcioj

$\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$$\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$

$\int \limits _{0}^{\pi /2}sin^{2a+1}xcos^{2b+1}x\,dx={\frac {\Gamma (a+1)\Gamma (b+1)}{2\Gamma (a+b+2)}}={\frac {1}{2}}\mathrm {B} (a+1,b+1)$$\int \limits _{0}^{\pi /2}sin^{2a+1}xcos^{2b+1}x\,dx={\frac {\Gamma (a+1)\Gamma (b+1)}{2\Gamma (a+b+2)}}={\frac {1}{2}}\mathrm {B} (a+1,b+1)$

Historio

Pierre-Simon LAPLACE donis en 1774 jenan eksplicitan formon