Logaritmo

Logaritmoj de diversaj bazoj:
XXXX ruĝa estas de bazo e,
XXXX verda estas de bazo 10,
XXXX purpura estas de bazo 1.7.

La logaritmo de nombro estas aplikrezulto de logaritma funkcio al tiu nombro. Logaritma funkcio estas inversa funkcio de la eksponenta funkcio. La notacio por la logaritma funkcio estas $\log$. Ĉi tiu funkcio trovas la potencon, kiam estas donitaj la bazo kaj la rezulto. Alivorte, ĝi estas la respondo al la demando "Al kiu potenco necesas eksponenciale levi la bazon, por ke la rezulto egalu donitan nombron?". La notacio por la logaritmo de a laŭ la bazo b estas $\log _{b}a$.

Formala difino

Logaritmo de iu nombro y je iu bazo a estas tiu nombro x, por kiu validas

a^x = y

Logaritmo kun bazo a estas la inversa funkcio de eksponenta funkcio kun la sama bazo y = a^x kiel funkcio de x. Se la potenciga funkcio estas konsiderata kiel funkcio de a, ĝia inverso estas la x-a radiko.

Oni notas la logaritman funkcion de y je bazo a per la simbolo "log_a y" = x; ĝi estas diinita por ĉiuj pozitivaj variabloj (y ĉitie).

La logaritmaj funkcioj je diversaj bazoj a kaj b diferencas je konstanta faktoro, kiu egalas al log_ab = 1/log_ba; ekzemple:

log_ax = (1/log_ba). log_bx

La natura logaritmo estas la logaritmo kun bazo e, skribita kiel "ln y".

La natura logaritmo estas la inversa funkcio (alinomita reciproka funkcio) de eksponenta funkcio, t.e. x = ln(e^x) kaj x = e^ln(x).

La dekuma logaritmo (aŭ dekbaza logaritmo) estas la logaritmo kun bazo 10, skribita kiel "lg y". Ĝi estas la plej komune uzata.

La duuma logaritmo (aŭ dubaza logaritmo) estas la logaritmo kun bazo 2, skribita kiel "log₂ y". Ĝi estas uzata pri la muzikaj skaloj.

Historia fono

John Napier (Neper), estis la unua kiu difinis kaj disvolvigis logaritmojn.

La logaritmoj estis inventitaj en la frua 17-a jarcento fare de John Napier. Ĝis ilia anstataŭigo, unue per la fruaj komputiloj kaj poste per la kalkuliloj, enkondukitaj en 1970-aj jaroj, logaritmoj estis grava ilo por kalkulado, uzante logaritmajn tabelojn kaj glitkalkulilon. La baza ideo malantaŭ ĉi tiuj du komputadaj helpiloj estas la regulo, ke la logaritmo de produto estas egala al la sumo de la logaritmoj de ĉiu el la multiplikatoj. Tiu ĉi regulo ebligas anstataŭigi multiplikan operacion, kiu estas relative kompleksa, per la pli simpla adicia operacio. Ĉi tiuj iloj estas bazitaj sur la bazo = 10 de la dekuma nombrosistemo.

John Napier (latinigita Neperus) publikigis en 1614 sian libron Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Joost Bürgi, svisa matematikisto kaj horloĝisto je la servo de la duko de Hesse-Kassel, konceptis por la unua fojo la logaritmojn; tamen, li publikigis sian malkovron kvar jarojn post Napier. La dekomenca rezistado uzi logaritmojn estis forigita de Keplero, pro la entuziasma apogo al lia publikaĵo kaj la sendifekta klarigo kiel ili funkcias.

Tiu metodo kontribuis al la progreso de la scienco, kaj speciale de la astronomio, ĉar ĝi faciligis la solvon de kalkuloj tre kompleksaj. La logaritmoj estis kutime uzitaj en geodezio, marnavigado kaj aliaj branĉoj de la aplikmatematiko, antaŭ la alveno de la kalkuliloj kaj komputiloj. Krom utileco en kalkulo, logaritmoj ludis gravan rolon ankaŭ en la plej antaŭenirigita matematiko; la natura logaritmo havigas solvon por la problemo de la kvadrateco de hiperbola sektoro ideita de Gregoire de Saint-Vincent en 1647.

Kalkulado

Logaritmoj de diversaj bazoj:
XXXX flava estas de bazo 2,
XXXX ruĝa estas de bazo e,
XXXX blua estas de bazo 1/2.
Vd la simetrion inter la flava kaj la blua kurboj.

Re(ln(z)) de kompleksa nombro z

Im(ln(z)) de kompleksa nombro z

|ln(z)| de kompleksa nombro z

En la historio de matematiko logaritmoj havis grandan signifon, ĉar multipliko de nombro egalas al adicio de iliaj logaritmoj, kaj adicio estas multe pli facile kaj rapide farebla ol multipliko (sen poŝkalkulilo). Tial iam ĉiu matematikisto kaj inĝeniero posedis libron kun tabeloj de logaritmoj (je bazo 10, kvar- aŭ kvin-ciferaj), per kiuj li povis multipliki pli rapide. Sur la sama principo baziĝas la glitkalkulilo, kiu havas logaritmajn skalojn, kiuj estas (fizike, per apudmeto) adiciataj.

Serio de Taylor

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Serio de Taylor.

En matematiko, serio de Taylor estas prezento de funkcio kiel serio (malfinia sumo de termoj kalkulitaj laŭ valoroj de derivaĵoj de la funkcio je sola punkto. Se la punkto kie estas kalkulitaj derivaĵoj estas nulo, la serio estas nomata ankaŭ kiel serio de Maclaurin. La serio de Taylor de reela aŭ kompleksa funkcio f(x), kiu estas malfinie diferencialebla en najbaraĵo de nombro a, estas la potencoserio

$f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots$

aŭ la samo alie skribita:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}\,,$

kie n! estas la faktorialo de n

f⁽ⁿ⁾(a) estas la n-a derivaĵo de f komputita je punkto a; la nula derivaĵo de f estas difinita kiel la f mem.

Ĉi tie estas uzataj (x-a)⁰=1 kaj 0!=1.

Sub certaj kondiĉoj (vidu sube), serio de Taylor de f(x) egalas al f(x) mem por ĉiuj x sufiĉe proksimaj al a.

Diskreta logaritmo

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Diskreta logaritmo.

En matematiko, diskreta logaritmo estas grupa analogo de ordinara logaritmo. Estu multiplika grupo de entjeroj module n (Z_p)^×, kiu estas la aro de entjeroj {1, …, p − 1} sub multipliko module la primo p.

Se oni bezonas trovi la k-an potencon de unu el la nombroj en ĉi tiu grupo, oni povas fari ĉi tion per trovo de ĝia k-a potenco kiel entjero kaj tiam trovo la resto post divido per p. Ĉi tiu procezo estas la diskreta potencigo. Ekzemple, estu (Z₁₇)^×. Por komputi 3⁴ en ĉi tiu grupo, oni unue komputu 3⁴ = 81, kaj tiam dividu 81 per 17, ricevante reston 13. Tial 3⁴ = 13 en la grupo (Z₁₇)^×. Diskreta logaritmo estas la inversa operacio. Estu donite ke 3^k ≡ 13 (mod 17), kio estas la k? Reale, estas malfinie multaj respondoj, pro la modula naturo de la problemo; oni tipe strebas al la plej malgranda nenegativa respondo, kiu estas k=4.

Logaritmaj tabeloj

Kiam elektronikaj kalkuliloj ne ekzistis, la plej rapida maniero trovi (dekumajn) logaritmojn estis konsulti tabel-libron. La matematikisto Henry Briggs en 1617 publikigis la unuan tian tabelon, kiu enhavis 14-poziciajn logaritmojn de ĉiuj entjeroj ĝis 20.000 kaj de 90.000 al 100.000. La nederlandano Adrian VLACQ en 1628 komplementis la intervalon de 20.000 al 90.000 (kun 10 pozicioj).

14 pozicioj estas tre multaj, sed ili ne estis vere utiligeblaj en la praktiko, ĉar la logaritmojn de nombroj inter la listigitaj oni devis poli, kaj tio perdigis multon el la mirinda 14-pozicia precizeco.

Ĉar la logaritmoj de iu nombro kaj de ĝia dekoblo diferencas ekzakte je 1, ne necesas listigi ĉiujn nombrojn ek de 1; sufiĉas ajna intervalo inter iu nombro kaj ĝia dekoblo. Nunaj logaritmaj tabeloj kutime uzas la intervalon inter 0,1 kaj 1,0.

Terminoj

Ĉe uzo de logaritma tabelo por multipliko oni distingas inter la entjera kaj la frakcia partoj de la logaritmo. La entjera parto, kiu respondas al potencoj de 10 (do al la pozicio de la komo), nomiĝas karakteristiko, la frakcia parto mantiso.

La karakteristiko estas do tio, kion en komputa matematiko oni nomas eksponento, dum ke la mantiso estas la logaritmo de tio, kion la komputa matematiko nomas signifikaĵo.

La dekumaj logaritmoj (logaritmoj je bazo 10) estas nomataj laŭ la menciita Henry Briggs kiel "logaritmoj de Briggs". Logaritmoj je la bazo e nomiĝas "logaritmoj de Euler" (ĉar e estas ankaŭ nomata "nombro de Euler") aŭ "naturaj logaritmoj", mallonge "ln" (latine logarithmus naturalis). En komputiko gravas la "duumaj logaritmoj" (je bazo 2) kaj foje la "dek-ses-umaj logaritmoj" (je bazo 16).

Etimologio

La vorto logaritmo devenas el la helena lingvo, en kiu arithmos (αριθμoς) signifas "nombro" kaj logos (λoγoς) havas multegajn signifojn, inter ili "rilato".

Kuriozaĵo

La simbolo de la logaritmo, la tri literoj "log", havas propran unikodan signon kun la numero 13266 (㏒).

Vidu ankaŭ

• Diskreta logaritmo
• Logaritma integrala funkcio
• Inversaj hiperbolaj funkcioj estas difinitaj en la kompleksa ebeno per esprimoj kun logaritmoj
• Logaritma skalo
• Ripetita logaritmo

Iuj el la pioniroj pri logaritma kalkulado

• Jost Bürgi
• Nikolao Merkator
• John Napier

Bibliografio

• Chávez Reyes, Carmen; León Quintanar, Adriana. La Biblia de las Matemáticas.
• González Aguilar. Matemáticas.
• Klaus Jänich: Funktionentheorie. Eine Einführung. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20392-3.
• Lang, Serge (1997). Undergraduate analysis. Undergraduate Texts in Mathematics (2a eldono). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94841-6. MR 1476913.
• Marcos, C.; Martínez, J. (1768). Matemáticas.
• Charles Naux: Histoire des Logarithmes de Neper a Euler. Tome I, II. Blanchard, Paris 1966, 1971.
• Wolfgang Walter: Analysis I. Grundwissen Mathematik. Band 3. Springer, Berlin 1985, ISBN 3-540-12780-1.