Inversa elemento

Inversa elemento estas ĝeneraligo de inverso de nombro.

Estu $\diamondsuit$ signifas duargumenta operacio en aro S. Elemento x nomigas inversan elementon kontraŭ y se plenumas du kondiĉojn:

1. $x\;\diamondsuit \;y=e$,
2. $y\;\diamondsuit \;x=e$,

kaj $e$ signifas neŭtra elemento de operacio $\diamondsuit$.

Se operacio $\diamondsuit$ estas skribata per simboloj: $+,\;\oplus ,\;\cup ,\;\lor$ por signifi ke operacio estas alsuma tiam inversa elemento estas nomata kontraŭa elemento kaj signifata per $-x$. Nomo inversa ofte estas uzata kiam estas uzata simboloj por multiplikado $*,\;\cdot ,\;\otimes ,\;\cap ,\;\land ,\;\star$ tiam inversa elemento estas signata per $x^{-1}$.

Unuflanka inversa elemento

Se estas plenumita nur unu el supera kondiĉojn, tiam oni difinas maldekstra inversa elemento (unua kondiĉo) kaj dekstra inversa elemento (dua kondiĉo).

Rimarku: elemento de aro povas havi multajn diversajn inversajn (mal)dekstrajn elementojn. Sed se operacio estas asocieca kaj elemento x havas maldekstran kaj dekstran elementon tiam ili estas egalaj kaj estas nur unu.

Ekzemploj

• Estu $\diamondsuit$ adicio de realaj nombroj. Elementemo inversa kontraŭ nombro $2$ estas nombro $-2$. Ĉar: $2+(-2)=0$ kaj $(-2)+2=0$ (nulo estas neŭtra elemento de adicio).
• Se $\diamondsuit$ estas multiplikado de realaj nombroj, tiam inversa elemento kontraŭ $2$ estas $1 \over 2$, ĉar $2\cdot {1 \over 2}={1 \over 2}\cdot 2=1$ (unu estas neŭtra elemento de multiplikado).

Lasta ekzemplo pruvas, ke ne ĉiu elemento devas havi inversa elemento – nombro nulo ne havas inversan elementon laŭ multiplikado.