Koŝia konverĝa provo

La koŝia konverĝa provo estas maniero por provi konverĝon de malfinia serio. Ĝi estas nomita laŭ Augustin Louis Cauchy, kiu publikigis ĝin en sia verko "Cours d'Analyse".

Deklaro

Serio

$\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$

estas konverĝa se kaj nur se por ĉiu $\varepsilon >0$ estas nombro N$\in \mathbb {N}$ tia ke

$|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots +a_{n+p}|<\varepsilon$

veras por ĉiuj n>N kaj $p\geq 1$.

Ekzemplo

La serio $1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\ldots$ konverĝas, ĉar

$\left|\sum _{i=n+1}^{m}{\frac {1}{i^{2}}}\right|<\left|\sum _{i=n+1}^{m}{\frac {1}{i(i-1)}}\right|=\left|\sum _{i=n+1}^{m}\left({\frac {1}{i-1}}-{\frac {1}{i}}\right)\right|={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{m}}<{\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{N}}<\varepsilon$,

kiam $N>{\tfrac {1}{\varepsilon }}$, dank' al la arĥimeda eco.

Provo

La provo laboras ĉar la serio estas konverĝa se kaj nur se la parta sumo $s_{n}:=\sum _{i=0}^{n}a_{i}$ estas koŝia vico: por ĉiu $\varepsilon >0$ estas nombro N, tia ke por ĉiuj n,m>N veras $|s_{m}-s_{n}|<\varepsilon .$ Oni povas supozi ke m>n kaj tial aro p=m-n. La serio estas konverĝa se kaj nur se

$|s_{n+p}-s_{n}|=|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots +a_{n+p}|<\varepsilon .$

Vidu ankaŭ

• Serio
• Konverĝa serio