Pra-Lie-alĝebro

En algebro, pra-Lie-alĝebro estas ĝeneraligo de la koncepto de asocieca alĝebro, plenumanta malfortigitan aksiomon de asocieco, kies komutilo tamen plenumas la aksiomon de alĝebro de Lie.

Laŭ la usona fizikisto John Baez,

	„ “Pra-Lie-alĝebro” sugestas alĝebron de Lie kun kelkaj kruroj fortiritaj. Sed efektive ĝi estas asocieca alĝebro kun kelkaj kruroj fortiritaj! Ĉiu asocieca algebro donas alĝebron de Lie — sed oni ne bezonas la plenan forton de la asocieca leĝo por ludi ĉi tiun ludon. Sufiĉas pra-Lie-alĝebro.” ” — John Baez

Difino

Supozu ke $K$ estas komuta ringo. Do, dekstra pra-Lie-alĝebro super $K$ estas $K$-modulo $V$ ekipita per dulineara operacio

$\triangleleft \colon V\otimes _{K}V\to V$

plenumanta la jenan aksiomon:

$\operatorname {asoc} _{\triangleleft }(x,y,z)=\operatorname {asoc} _{\triangleleft }(x,z,y)$.

En la ĉi-supra aksiomo, $\operatorname {asoc}$ estas la asociilo

$\operatorname {asoc} _{\triangleleft }(x,y,z)\,{\overset {\text{dif}}{=}}\,(x\triangleleft y)\triangleleft z-x\triangleleft (y\triangleleft z)$.

La maldekstra pra-Lie-alĝebro estas simile $K$-modulo ekipita per dulineara operacio

$\triangleright \colon V\otimes _{K}V\to V$

plenumanta la malan aksiomon:

$\operatorname {asoc} _{\triangleright }(x,y,z)=\operatorname {asoc} _{\triangleright }(y,x,z)$.

Ecoj

Dekstra (aŭ maldekstra) pra-Lie-alĝebro povas esti rigardata kiel alĝebro de Lie, se oni difinas la Lie-krampon kiel la komutilon:

$[x,y]\,{\overset {\text{dif}}{=}}\,a\triangleleft b-b\triangleleft a$.

Ekzemploj

Asocieca alĝebro (eble sen unuo) estas kaj dekstra pra-Lie-alĝebro kaj maldekstra pra-Lie-alĝebro, ĉar la asociilo simple nulas.

Historio

La koncepton pre-Lie-alĝebro enkondukis la usona matematiksto Murray Gerstenhaber (1927–).

Eksteraj ligiloj

• Pre-Lie algebra (angle). nLab.