Matrico de Hesse: Malsamoj inter versioj

[nekontrolita versio]

← Iru al antaŭa ŝanĝo Iru al sekvanta ŝanĝo →

Enhavo forigita Enhavo aldonita

Enteksta

Kiel registrite je 03:51, 15 okt. 2009

En matematiko, la matrico de Hesse estas kvadrata matrico de duaj partaj derivaĵoj de skalaro-valora funkcio. Por reelo-valora funkcio

f(x₁, x₂, ..., x_n),

se ĉiuj partaj duaj derivaĵoj de f ekzistas, la matrico de Hesse de f estas matrico

H(f)_ij(x) = D_i D_j f(x)

kie x = (x₁, x₂, ..., x_n). Tio estas,

H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}

Miksitaj derivaĵoj kaj simetrio de la matrico

La miksitaj derivaĵoj de f estas la elementoj ne sur la ĉefa diagonalo en la matrico. Ofte, la ordo de diferencialado ne gravas. Ekzemple:

{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)

Ĉi tio povas ankaŭ esti skribita kiel:

\partial _{xy}f=\partial _{yx}f

Se la ĉiuj duaj derivaĵoj de f estas kontinuaj en regiono D, do la matrico de Hesse de f estas simetria matrico en D. (Vidu en simetrio de duaj derivaĵoj.)

Kritikaj punktoj kaj diskriminanto

Se la gradiento de f (kio estas ĝia derivaĵo en la vektoro senco) estas nulo je iu punkto x, tiam f havas kritikan punkton je x. La determinanto de la matrico de Hesse je x estas tiam nomata kiel la diskriminanto. Se ĉi tiu determinanto estas nulo tiam x estas degenera kritika punkto de f. Alie ĝi estas ne degenera.

Dua derivaĵa provo

Jena provo povas esti aplikita je ne-degenera kritika punkto x. Se la matrico de Hesse estas pozitive difinita matrico je x, tiam f atingas lokan minimumon je x. Se la matrico de Hesse estas negative definita je x, tiam f atingas lokan maksimumon je x. Se la matrico de Hesse havas ambaŭ pozitivan kaj negativan ajgenojn tiam x estas sela punkto por f (ĉi tio estas vera eĉ se x estas degenera).

Por pozitive duondifina kaj negative duondifina matricoj de Hesse la provo estas ne donas rezulton. Tamen, io plua povas esti dirita de la punkto de vido de morsa teorio.

La dua derivaĵa provo]por funkcioj de unu kaj du variabloj estas simpla. En unu variablo, la matrico de Hesse enhavas nur unu duan derivaĵon; se ĝi estas pozitiva tiam x estas loka minimumo, se ĝi estas negativa tiam x estas loka maksimumo; se ĝi estas nulo tiam la provo ne donas rezulton. En du variabloj, la diskriminanto povas esti uzata, ĉar la determinanto estas produto de la ajgenoj. Se ĝi estas pozitiva tiam la ajgenoj estas ambaŭ pozitivaj, aŭ ambaŭ negativaj. Se ĝi estas negativa tiam la du ajgenoj havas malsamajn signojn. Se ĝi estas nulo, tiam la dua derivaĵa provo ne donas rezulton.

Vektoro-valoraj funkcioj

Se f estas vektoro-valora, kio estas

f=(f₁, ..., f_n),

tiam la tabelo de duaj partaj derivaĵoj estas ne matrico sed tensoro de rango 3.

Vidu ankaŭ

Gradiento - vektoro de la unuaj derivaĵoj de skalaro-valora funkcio
Jakobia matrico - matrico de la unuaj derivaĵoj de vektoro-valora funkcio
Serio de Taylor - la matrico de Hesse aperas en serio de Taylor de funkcio de kelkaj variabloj

@@ Linio 1: / Linio 1: @@
-En [[matematiko]], la '''matrico de Hessian''' estas [[kvadrata matrico]] de duaj [[parta derivaĵo|partaj derivaĵoj]] de skalaro-valora [[funkcio]]. Por reelo-valora funkcio
+En [[matematiko]], la '''matrico de Hesse''' estas [[kvadrata matrico]] de duaj [[parta derivaĵo|partaj derivaĵoj]] de [[skalaro]]-valora [[funkcio]]. Por [[reelo]]-valora funkcio
 :''f''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>),
-se ĉiuj partaj duaj derivaĵoj de ''f'' ekzistas, la '''matrico de Hessian''' de ''f'' estas matrico
+se ĉiuj partaj duaj derivaĵoj de ''f'' ekzistas, la '''matrico de Hesse''' de ''f'' estas matrico
 :H(''f'')<sub>''ij''</sub>(''x'') = ''D''<sub>''i''</sub> ''D''<sub>''j''</sub> ''f''(''x'')
@@ Linio 27: / Linio 27: @@
 :<math>\partial_{xy} f = \partial_{yx} f</math>
-Se la ĉiuj duaj derivaĵoj de ''f'' estas [[kontinua funkcio|kontinuaj]] en regiono ''D'', do la matrico de Hessian de ''f'' estas [[simetria matrico]] en ''D''. (Vidu en [[simetrio de duaj derivaĵoj]].)
+Se la ĉiuj duaj derivaĵoj de ''f'' estas [[kontinua funkcio|kontinuaj]] en regiono ''D'', do la matrico de Hesse de ''f'' estas [[simetria matrico]] en ''D''. (Vidu en [[simetrio de duaj derivaĵoj]].)
 == Kritikaj punktoj kaj diskriminanto ==
-Se la [[gradiento]] de ''f'' (kio estas ĝia derivaĵo en la vektoro senco) estas nulo je iu punkto ''x'', tiam ''f'' havas ''[[kritika punkto|kritikan punkton]]'' je ''x''. La [[determinanto]] de la matrico de Hessian je ''x'' estas tiam nomata kiel la [[diskriminanto]]. Se ĉi tiu determinanto estas nulo tiam ''x'' estas ''[[degenera kritika punkto]]'' de ''f''. Alie ĝi estas ne degenera.
+Se la [[gradiento]] de ''f'' (kio estas ĝia derivaĵo en la vektoro senco) estas nulo je iu punkto ''x'', tiam ''f'' havas ''[[kritika punkto|kritikan punkton]]'' je ''x''. La [[determinanto]] de la matrico de Hesse je ''x'' estas tiam nomata kiel la [[diskriminanto]]. Se ĉi tiu determinanto estas nulo tiam ''x'' estas ''[[degenera kritika punkto]]'' de ''f''. Alie ĝi estas ne degenera.
 == [[Dua derivaĵa provo]] ==
-Jena provo povas esti aplikita je ne-degenera kritika punkto ''x''. Se la matrico de Hessian estas [[pozitive difinita matrico]] je ''x'', tiam ''f'' atingas lokan [[minimumo]]n je ''x''. Se la matrico de Hessian estas negative definita je ''x'', tiam ''f'' atingas lokan [[maksimumo]]n je ''x''. Se la matrico de Hessian havas ambaŭ pozitivan kaj negativan [[ajgeno]]jn tiam ''x'' estas [[sela punkto]] por ''f'' (ĉi tio estas vera eĉ se ''x'' estas degenera). Alie la provo ne donas rezulton.
+Jena provo povas esti aplikita je ne-degenera kritika punkto ''x''. Se la matrico de Hesse estas [[pozitive difinita matrico]] je ''x'', tiam ''f'' atingas lokan [[minimumo]]n je ''x''. Se la matrico de Hesse estas negative definita je ''x'', tiam ''f'' atingas lokan [[maksimumo]]n je ''x''. Se la matrico de Hesse havas ambaŭ pozitivan kaj negativan [[ajgeno]]jn tiam ''x'' estas [[sela punkto]] por ''f'' (ĉi tio estas vera eĉ se ''x'' estas degenera).
-Por pozitive duondifina kaj negative duondifina matricoj de Hessian la provo estas ne donas rezulton. Tamen, io plua povas esti dirita de la punkto de vido de [[morsa teorio]].
+Por pozitive duondifina kaj negative duondifina matricoj de Hesse la provo estas ne donas rezulton. Tamen, io plua povas esti dirita de la punkto de vido de [[morsa teorio]].
-La dua derivaĵa provo]por funkcioj de unu kaj du variabloj estas simpla. En unu variablo, la matrico de Hessian enhavas nur unu duan derivaĵon; se ĝi estas pozitiva tiam ''x'' estas loka minimumo, se ĝi estas negativa tiam ''x'' estas loka maksimumo; se ĝi estas nulo tiam la provo ne donas rezulton. En du variabloj, la diskriminanto povas esti uzata, ĉar la determinanto estas produto de la ajgenoj. Se ĝi estas pozitiva tiam la ajgenoj estas ambaŭ pozitivaj, aŭ ambaŭ negativaj. Se ĝi estas negativa tiam la du ajgenoj havas malsamajn signojn. Se ĝi estas nulo, tiam la dua derivaĵa provo ne donas rezulton.
+La dua derivaĵa provo]por funkcioj de unu kaj du variabloj estas simpla. En unu variablo, la matrico de Hesse enhavas nur unu duan derivaĵon; se ĝi estas pozitiva tiam ''x'' estas loka minimumo, se ĝi estas negativa tiam ''x'' estas loka maksimumo; se ĝi estas nulo tiam la provo ne donas rezulton. En du variabloj, la diskriminanto povas esti uzata, ĉar la determinanto estas produto de la ajgenoj. Se ĝi estas pozitiva tiam la ajgenoj estas ambaŭ pozitivaj, aŭ ambaŭ negativaj. Se ĝi estas negativa tiam la du ajgenoj havas malsamajn signojn. Se ĝi estas nulo, tiam la dua derivaĵa provo ne donas rezulton.
 == Vektoro-valoraj funkcioj ==
@@ Linio 53: / Linio 53: @@
 * [[Gradiento]] - vektoro de la unuaj derivaĵoj de skalaro-valora funkcio
 * [[Jakobia matrico]] - matrico de la unuaj derivaĵoj de vektoro-valora funkcio
-* [[Serio de Taylor]] - la matrico de Hessian aperas en serio de Taylor de funkcio de kelkaj variabloj
+* [[Serio de Taylor]] - la matrico de Hesse aperas en serio de Taylor de funkcio de kelkaj variabloj
 [[Kategorio:Kalkulo]]