Sumado de Borel

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

La sumado de Borel estas metodo pro kalkuli sumon de malkonverĝa serio, eltrovita de Emile Borel en 1899.

Difino[redakti | redakti fonton]

Konsideru formalan potencan serion

a(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n.

Difinu la konverton de Borel de a(x) kiel jenon:

\mathcal Ba(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{n!}x^n

kie n! signifas la faktorialon. Difinu la sumon de Borel de a(x) kiel jenon (se ĝi ekzistas):

\int_0^\infty\operatorname d\!t\;\exp(-t)\mathcal Ba(tx).

Se la ordinara sumo de a(x) ekzistas (t.e., se a(x) konverĝas), do la sumo de Borel ankaŭe ekzistas kaj la du sumoj koincidas:

\int_0^\infty\operatorname d\!t\;\exp(-t)\mathcal Ba(tx)
=\sum_n\frac{a_nx^n}{n!}\int_0^\infty\operatorname d\!t\;\exp(-t)t^n
=\sum_n\frac{a_nx^n}{n!}\cdot n!
=\sum_na_nx^n.

Ekzemploj[redakti | redakti fonton]

Konsideru la serion

a(x)=\sum_{n=0}^\infty x^n.

La serio evidente konverĝas se kaj nur se |x|<1. La konverto de Borel estas

\mathcal Ba(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=\exp(x).

La sumo de Borel estas

\int_0^\infty\operatorname d\!t\;\exp(-t)\mathcal Ba(tx)
=\int_0^\infty\operatorname d\!t\;\exp\left((x-1)t\right)
=\frac1{1-x}\int_0^\infty\operatorname d\!t\;\exp\left((x-1)t\right)
=\frac1{1-x}

kiu ekzistas se \Re x<1.

Aplikaĵoj[redakti | redakti fonton]

La sumado de Borel estas uzata en la teorio de perturbo en kvantuma kampa teorio sumi malkonverĝan serion de diagramoj de Feynman. La polusoj de la konverto de Borel signifas efektojn neperturbajn.

Referencoj[redakti | redakti fonton]