Sumado de Borel

La sumado de Borel estas metodo pro kalkuli sumon de malkonverĝa serio, eltrovita de Emile Borel en 1899.

Difino

Konsideru formalan potencan serion

$a(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$.

Difinu la konverton de Borel de $a(x)$ kiel jenon:

${\mathcal {B}}a(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n}$

kie $n!$ signifas la faktorialon. Difinu la sumon de Borel de $a(x)$ kiel jenon (se ĝi ekzistas):

$\int _{0}^{\infty }\operatorname {d} \!t\;\exp(-t){\mathcal {B}}a(tx)$.

Se la ordinara sumo de $a(x)$ ekzistas (t.e., se $a(x)$ konverĝas), do la sumo de Borel ankaŭe ekzistas kaj la du sumoj koincidas:

$\int _{0}^{\infty }\operatorname {d} \!t\;\exp(-t){\mathcal {B}}a(tx)$

$=\sum _{n}{\frac {a_{n}x^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }\operatorname {d} \!t\;\exp(-t)t^{n}$

$=\sum _{n}{\frac {a_{n}x^{n}}{n!}}\cdot n!$

$=\sum _{n}a_{n}x^{n}$.

Ekzemploj

Konsideru la serion

$a(x)=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$.

La serio evidente konverĝas se kaj nur se $|x|<1$. La konverto de Borel estas

${\mathcal {B}}a(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=\exp(x)$.

La sumo de Borel estas

$\int _{0}^{\infty }\operatorname {d} \!t\;\exp(-t){\mathcal {B}}a(tx)$

$=\int _{0}^{\infty }\operatorname {d} \!t\;\exp \left((x-1)t\right)$

$={\frac {1}{1-x}}\int _{0}^{\infty }\operatorname {d} \!t\;\exp \left((x-1)t\right)$

$={\frac {1}{1-x}}$

kiu ekzistas se $\Re x<1$.

Aplikaĵoj

La sumado de Borel estas uzata en la teorio de perturbo en kvantuma kampa teorio sumi malkonverĝan serion de diagramoj de Feynman. La polusoj de la konverto de Borel signifas efektojn neperturbajn.

Referencoj

• Borel, E. (1899), "Mémoire sur les séries divergentes", Ann. Sci. École Norm. Sup. (3) 16: 9–131, http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1899_3_16__9_0 
• Glimm, James; Jaffe, Arthur (1987), Quantum physics (2nd ed.), Berlino kaj Novjorko: Springer-Verlag, (ISBN 978-0-387-96476-8) 
• Hardy, Godfrey Harold (1992) [1949], Divergent Series, New York: Chelsea, (ISBN 978-0-8218-2649-2), http://books.google.com/books?isbn=0821826492 
• Reed, Michael; Simon, Barry (1978), Methods of modern mathematical physics. IV. Analysis of operators, Novjorko: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], (ISBN 978-0-12-585004-9) 
• Sansone, Giovanni; Gerretsen, Johan (1960), Lectures on the theory of functions of a complex variable. I. Holomorphic functions, P. Noordhoff, Groningen 
• Weinberg, Steven (2005), The quantum theory of fields. Vol. II, Cambridge University Press, (ISBN 978-0-521-55002-4)