Teoremo pri la cirkonferenca angulo kaj la centra angulo

En ebena eŭklida geometrio, la teoremoj pri la cirkonferenca angulo kaj la centra angulo demonstras rilatojn inter la cirkonferencaj anguloj kaj la centraj anguloj kiu detranĉas saman arkon en cirklo.

La teoremo pri la centra angulo montras, ke en cirklo, la mezuro de centra angulo estas la duoblo de la mezuro de cirkonferenca angulo.

La teoremoj pri la cirkonferenca angulo montras, konsekvence, ke du cirkonferencaj anguloj, kiuj detranĉas saman arkon, estas egalaj

Teoremo pri la centra angulo

Versio kun geometriaj anguloj

Teoremo: Estu M punkto de cirklo Γ, de centro O, A kaj B estas du punktoj de la cirklo apartaj de M. Se la anguloj AMB kaj AOB detranĉas la saman arkon AB, do:

2{\widehat {AMB}}={\widehat {AOB}}

.

Estas du kazoj: unu, kiam la cirkonferenca angulo de vertico M estas akuta, do la centra angulo konveksa (bildo supra), kaj la alia, kiam la cirkonferenca angulo de vertico M estas obtuza, do la centra angulo konkava (bildo malsupra). Oni faras la demonstron en du stadioj.

Unue, (Maldekstra bildo ĉi-supre) oni demonstras, ke se [MD] estas diametro, do oni havas: $2{\widehat {AMD}}={\widehat {AOD}}$ .

Efektive, oni havas :

{\widehat {AOD}}=180^{\circ }-{\widehat {AOM}}

kaj ĉar la triangulo AOM estas isocela kun vertico O, oni scias ke:

180^{\circ }-{\widehat {AOM}}=2{\widehat {AMD}}

. Do la egaleco.

Due, oni rimarkas ke, iaj ajn estus la lokalizoj de A kaj B, la angulo ${\widehat {AMB}}$ estas la sumo (centra bildo) aŭ la diferenco (dekstra bildo) de la anguloj ${\widehat {AMD}}$ kaj ${\widehat {DMB}}$ , kaj ke estas same koncerne al la angulo ${\widehat {AOB}}$ , sumo aŭ diferenco de la anguloj ${\widehat {AOD}}$ kaj ${\widehat {DOB}}$ .

Versio kun orientataj anguloj

La teoremo kaj ĝia demonstro estas pli simplaj kun orientataj anguloj.

Teoremo: Se A kaj B estas du punktoj de cirklo Γ de centro O kaj se M estas punkto de Γ aparta de A kaj B do:

({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}})\equiv 2({\overrightarrow {MA}},{\overrightarrow {MB}})\mod {2\pi }

.

La demonstro utiligas la rilaton de Chasles pri la orientataj anguloj kaj la econ de la izocelaj trianguloj : $({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}})\equiv ({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OM}})+({\overrightarrow {OM}},{\overrightarrow {OB}})\mod {2\pi }$ .

Ĉar la trianguloj OAM kaj OBM estas izocelaj, oni havas : $({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OM}})\equiv \pi -2({\overrightarrow {MO}},{\overrightarrow {MA}})\mod {2\pi }$ kaj : $({\overrightarrow {OM}},{\overrightarrow {OB}})\equiv \pi -2({\overrightarrow {MB}},{\overrightarrow {MO}})\mod {2\pi }$ .

Anstataŭigante, oni ricevas: $({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}})\equiv 2\pi -2(({\overrightarrow {MB}},{\overrightarrow {MO}})+({\overrightarrow {MO}},{\overrightarrow {MA}}))\mod {2\pi }$

({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}})\equiv -2({\overrightarrow {MB}},{\overrightarrow {MA}})\mod {2\pi }

({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}})\equiv 2({\overrightarrow {MA}},{\overrightarrow {MB}})\mod {2\pi }

.

Reciproka eco: Se A kaj B estas du apartaj punktoj de cirklo Γ de centro O kaj M punkto aparta de A kaj B kaj se:

({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}})\equiv 2({\overrightarrow {MA}},{\overrightarrow {MB}})\mod {2\pi }

do M estas sur la cirklo.

Tiu econ oni demonstras, rimarkante ke la antaŭa egaleco malhelpas la punktojn M, A kaj B esti laŭliniigitaj (la angulo $({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}})$ neniam estas nula). Oni povas do rigardi la centron O' de la cirklo ĉirkaŭskribita al la triangulo MAB kaj uzi la rekta senco de la eco: $({\overrightarrow {O'A}},{\overrightarrow {O'B}})\equiv 2({\overrightarrow {MA}},{\overrightarrow {MB}})\mod {2\pi }$

Oni do ricevas : $({\overrightarrow {O'A}},{\overrightarrow {O'B}})\equiv ({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}})\mod {2\pi }$ .

La izocelaj trianguloj isocèles (OAB) kaj (O'AB) havas la sama bazo kaj la sama vertica angulo, ili do estas kunfanditaj kaj O' = O. La punkto ja estas sur la cirklo Γ.

Teoremo pri la cirkonferenca angulo

Versio kun geometriaj anguloj

Teoremo: - Du cirkonferencaj anguloj en cirklo, detranĉantaj saman arkon estas egalaj

Un angulo estas cirkonferenca rilate al cirklo se ties vertico estas punkto de la cirklo. La arko kiun ĝi detranĉas povas esti konveksa (< 2π) aŭ konkava (> 2π). En la dua kazo, la geometriaj anguloj estas obtuzaj, sed la eco estas enoncita sammaniere: ${\widehat {AMB}}={\widehat {ANB}}$ .

Tiu eco estas rekta sekvo de la teoremo pri la cirkonferenca angulo kaj la centra angulo.

Ĉar : ${\widehat {AMB}}={\frac {1}{2}}{\widehat {AOB}}$ kaj ${\widehat {ANB}}={\frac {1}{2}}{\widehat {AOB}}$ esta evidente ke: ${\widehat {AMB}}={\widehat {ANB}}$ .

Versio kun orientataj anguloj

Koncern'al la orientataj anguloj, la eco iĝas karakterizilo de la cirklo pasanta tra la punktoj A, M kaj B.

Teoremo: -Sei tri punktoj A, M, B ne estas laŭliniigitaj kaj se (Γ) estas la cirklo ĉirkaŭskribita al la tri punktoj, do, por iu ajn punkto N aparta de A kaj B oni havas

({\overrightarrow {NA}},{\overrightarrow {NB}})\equiv ({\overrightarrow {MA}},{\overrightarrow {MB}})\mod \pi \iff N\in (\Gamma )

.

Oni rimarkas, ke la egaleco estas vera module π, tiu, kiu klarigas, ke la geometriaj anguloj povas esti malegalaj.