Gradiento (matematiko)

En la supraj du bildoj, la 2-dimensia skalara kampo estas en nigra kaj blanka, nigro prezentas pli altajn valorojn, kaj ĝia gradiento estas prezentata per bluaj sagoj.

En matematiko, gradiento de skalara kampo estas vektora kampo, kiu en ĉi punkto direktiĝas al la fluo de la plej granda pligrandiĝo de la skalara kampo, kaj kies grando estas la rapideco de la pligrandiĝo.

Rapideco de pligrandiĝo de la skalara kampo en iu direkto povas esti kalkulita kiel skalara produto de la gradiento kaj unuobla vektoro en la direkto.

Interpretado de la gradiento

Konsideru ĉambron en kiu la temperaturo estas donita per skalara kampo $\Phi$, do je ĉiu punkto $(x,y,z)$ la temperaturo estas $\Phi (x,y,z)$. Alprenu ke la temperaturo ne ŝanĝiĝas kun tempo. Tiam, je ĉiu punkto en la ĉambro, la gradiento je la punkto montras la direkton laŭ kiu iĝas pli varme plej rapide. La grandeco de la gradiento montras kiom rapide iĝas pli varme en ĉi tiu direkto.

Konsideri monteton, kies alto je punkto $(x,y)$ estas $\phi (x,y,z)$. La gradiento de $\phi$ je punkto estas direkte al la plej kruta inklino je la punkto. La grandeco de la gradiento montras kiom kruta la inklino estas.

Formala difino

La gradiento de skalara funkcio f(x) estas skribata kiel

${\overrightarrow {\nabla }}f$ (aŭ ${\nabla }f$),

kie $\nabla$ (nabla operatoro) estas la vektora diferenciala operatoro. La gradiento de f(x) estas iam ankaŭ skribita kiel ${\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\ f$ (aŭ grad f).

En karteziaj koordinatoj en 2 dimensioj la esprimo estas

$\nabla \phi ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\end{pmatrix}}$ ,

en 3 dimensioj la esprimo estas

$\nabla \Phi ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \Phi }{\partial x}},{\frac {\partial \Phi }{\partial y}},{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\end{pmatrix}}$ ,

kaj tiel plu en pli multaj dimensioj.

La rezulto estas invarianta sub ĉiuj turnoj de la koordinatosistemo, do sub transformoj per ĉiuj perpendikularaj matricoj. Ĉi tiel devas esti ĉar laŭ la senco gradiento ne dependas de koordinatosistemo uzata.

Lineara proksimumigo de funkcio

Gradiento de funkcio f kun argumento en eŭklida spaco $\mathbb {R} ^{n}$ kaj la rezulto en $\mathbb {R}$ en iu punkto x₀ in $\mathbb {R} ^{n}$ donas la plej bonan linearan proksimumigon de f ĉirkaŭ x₀:

$f(x)\approx f(x_{0})+(\nabla f)_{x_{0}}\cdot (x-x_{0})$

kie $(\nabla f)_{x_{0}}$ estas gradiento de f en $x_{0}$, kaj la punkto signifas skalaran produton en $\mathbb {R} ^{n}$. Ĉi tio estas du la unuaj eroj de vico de Taylor de f je x₀.

En polusaj koordinatosistemoj

En cilindraj koordinatoj:

$\nabla F(\rho ,\theta ,z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial F}{\partial \rho }},{{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F}{\partial \theta }}},{\frac {\partial F}{\partial z}}\end{pmatrix}}$

kie θ estas la angulo de la abscisa akso kaj

z estas koordinato koincidanta kun la kartezia.

En sferaj koordinatoj:

$\nabla F(r,\theta ,\phi )={\begin{pmatrix}{\frac {\partial F}{\partial r}},{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F}{\partial \phi }}},{{\frac {1}{r\sin \phi }}{\frac {\partial F}{\partial \theta }}}\end{pmatrix}}$

kie θ estas la angulo de la abscisa akso kaj

φ estas la zenita angulo.

Proprecoj

Estu c skalara konstanto, estu u kaj v skalaraj kampoj.

grad c = 0

grad (c u) = c grad u

grad (u+v) = (grad u) + (grad v)

grad (u v) = u (grad v) + v (grad u)

Ekzemplo

La gradiento de la funkcio $\Phi$ $=2x+3y^{2}-\sin(z)$ estas:

$\nabla \Phi ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \Phi }{\partial x}},{\frac {\partial \Phi }{\partial y}},{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{2},{6y},{-\cos(z)}\end{pmatrix}}.$

Vidu ankaŭ

• Gradienta teoremo
• Nabla operatoro
• Diverĝenco
• Kirlo (matematiko)
• Izolinio
• Matrico de Hesse