Integrala eksponenta funkcio

Graikaĵoj de E₁ (supra) kaj Ei (malsupra)

En matematiko, la integrala eksponenta funkcio Ei(x) estas difinita kiel difinta integralo de certa esprimo kun la eksponenta funkcio:

$\mbox{Ei}(x)=-\int_{-x}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dt$

Ĉar integralo de 1/t malkonverĝas je t=0, la pli supre donita integralo estas komprenata kiel la koŝia ĉefa valoro.

La integrala eksponenta funkcio havas la serian prezenton:

$\mbox{Ei}(x) = \gamma+\ln x+ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k\; k!} \,$

kie γ estas la eŭlera γ konstanto.

La eksponenta funkcia integralo estas proksime rilatanta al la logaritma integrala funkcio li(x)

li(x) = Ei (ln (x)) por ĉiu pozitiva reela x≠1.

Ankaŭ proksime rilatanta estas funkcio kiu integralatas super malsama limigo:

${\rm E}_1(x) = \int_x^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dt$

Ĉi tiu funkcio povas esti estimita kiel etendado de la integrala eksponenta funkcio al negativaj reelaj nombroj per

Ei(-x) = - E₁(x)

Oni povas esprimi ilin ambaŭ per la tuta funkcio

${\rm Ein}(x) = \int_0^x (1-e^{-t})\,\frac{\mathrm dt}{t} = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{k\; k!}$

Uzante ĉi tiun funkcion, oni tiam povas difini, uzante la logaritmon

${\rm E}_1(x) \,=\, -\gamma-\ln x + {\rm Ein}(x)$

kaj

${\rm Ei}(x) \,=\, \gamma+\ln x - {\rm Ein}(-x)$

La integrala eksponenta funkcio povas ankaŭ esti ĝeneraligita al

$E_n(x) = \int_1^\infty \frac{e^{-xt}}{t^n}\,\mathrm dt$

Eksteraj ligiloj

    Milton Abramowitz kaj Irene A. Stegun, Gvidlibro de matematikaj funkcioj kun formuloj, grafikaĵoj kaj matematikaj tabeloj. Novjorko, Dover, 1972. (Vidu en ĉapitro 5)

    Eric W. Weisstein, Integrala eksponenta funkcio en MathWorld.

    Eric W. Weisstein, En-funkcio en MathWorld.

    Formuloj por Ei