Fibonaĉi-nombro

Tiel la unuaj fibonaĉi-nombroj estas:

n F(n) 1 1 2 1 3 2 4 3 5 5 6 8 7 13 8 21 9 34 10 55 11 89 12 144 13 233 14 377 15 610 16 987 17 1597 18 2584 19 4181 20 6765 21 10946 22 17711 23 28657 24 46368 25 75025 26 121393 27 196418 28 317811 29 514229 30 832040 31 1346269 32 2178309 33 3524578 34 5702887 35 9227465 36 14930352 37 24157817 38 39088169 39 63245986 40 102334155 41 165580141 42 267914296 43 433494437 44 701408733 45 1134903170 46 1836311903 47 2971215073 48 4807526976 49 7778742049 50 12586269025 51 20365011074 52 32951280099 53 53316291173 54 86267571272 55 139583862445 56 225851433717 57 365435296162 58 591286729879 59 956722026041 60 1548008755920 61 2504730781961 62 4052739537881 63 6557470319842 64 10610209857723 65 17167680177565 66 27777890035288 67 44945570212853 68 72723460248141 69 117669030460994 70 190392490709135 71 308061521170129 72 498454011879264 73 806515533049393 74 1304969544928657 75 2111485077978050 76 3416454622906707 77 5527939700884757 78 8944394323791464 79 14472334024676221 80 23416728348467685 81 37889062373143906 82 61305790721611591 83 99194853094755497 84 160500643816367088 85 259695496911122585 86 420196140727489673 87 679891637638612258 88 1100087778366101931 89 1779979416004714189 90 2880067194370816120

La fibonaĉi-nombroj, tiel nomataj pro la itala matematikisto Fibonacci, konsistigas progresion kies termoj difinitas per:

$F(n+2)=F(n)+F(n+1)$,

kaj la ekkondiĉoj:

F(0) = 0

F(1) = 1

alinome:

$F_{n}:=F(n):={\begin{cases}0&{\mbox{dla }}n=0;\\1&{\mbox{dla }}n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&{\mbox{dla }}n>1.\\\end{cases}}$

Propraĵoj

$F_{n}=\sum _{k=1}^{n}{n-k \choose k-1}$

$\sum _{k=1}^{n}F_{k}=F_{n+2}-1$

$\sum _{i=0}^{n}iF_{i}=nF_{n+2}-F_{n+3}+2$

Kaheligo de ortangulo per kvadratoj kies longoj de lateroj estas fibonaĉi-nombroj

$\sum _{k=1}^{n}F_{k}^{2}=F_{n+1}F_{n}$ (kaheligo de ortangulo montrita sur bildo)

$\sum _{k=1}^{n}F_{k}^{3}=(F_{3n+2}+(-1)^{n+1}6F_{n-1}+5)/10$

$F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}$

$F_{2n-1}={F_{n}}^{2}+{F_{n-1}}^{2}$

$F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}$

$F_{n+1}F_{m}+F_{n}F_{m-1}=F_{m+n}\,$

• Teoremo de Carmichael pri primaj faktoroj.

Formulo de Moivre-Binet

La formulo de Moivre-Binet estas malimplicita formulo por kalkuli la n-an Fibonaĉi-nombron:

$f(n)={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right].$