Harmona serio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Harmona serio – nombra serio kiu havas aspekton:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots

Nomo devenas de sekvaj duontonoj de oscilanta kordo, kiuj estas proporcia al 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... . Ĉiuj elemento de serio estas harmona meznombro de du antaŭaj nombroj.

Malkonverĝo de harmona serio[redakti | redakti fonton]

Harmona serio estas malkonverĝa - suba pruvo de tiu fakto devenas de Nikolao de Oresme kaj estas unu el gravaj sukcesoj de mezepoka matematiko.

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\dots=
1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\dots>
1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right) +\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right) +\dots=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)+\dots

Ĉar sumo de nombroj en ĉiu krampo estas 1/2, vico de partaj sumoj de serio ne havas limeson.

Ĝeneraloj[redakti | redakti fonton]

Tiel nomata ĝenerala harmona serio

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{an+b}

estas malkonverĝa kiam a \ne 0, b\in \mathbb{R}

Oni povas pruvi[noto 1], ke makkonverĝa estas ankaŭ serio de inversoj de primoj.

Harmonaj nombroj[redakti | redakti fonton]

Sekvaj partaj sumoj de harmona serio

H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k},

tiel nomataj harmonaj nombroj, kreskas malrapide, ĉar ekzistas ekvacio:

 \lim_{n \to \infty} H_n - \ln(n) = \gamma

kaj γ estas tiel nomata konstanto de Euler. Tio signifas, ke harmona serio kreskas same rapide kiel natura logaritmo.

Harmona serio kun pli altaj gradoj[redakti | redakti fonton]

Harmona serio kun grado α havas aspekton:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}=1+\frac{1}{2^{\alpha}}+\frac{1}{3^{\alpha}}+\frac{1}{4^{\alpha}}+\dots

La serio estas konverĝa por α>1 kaj malkorverĝa alikaze. Se α povus esti kompleksa nombro kaj por ĉiu α kiam serio estas korverĝa kunigos ĝia sumo, tiel verkata funkcio estas funkcio ς de Riemann:

 \zeta(\alpha) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}

Tiu funkcio estas grava en teorio de nombroj. Kaj kunigas kun ĝi fama hipotezo de Riemann.

Ankaŭ Alterna harmona serio estas ankaŭ konverĝa, sed nur kondiĉe

\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} = \ln 2.

Tiu rezultas ekzemple el disvolvo de funkcio natura logaritmo en serio de Taylor.

Notoj[redakti | redakti fonton]

  1. pruvis Euler