Kvaredra nombro

Regula kvaredro, kun latero longa je 5 globetoj enhavas 35 globetojn. Estas 5 tavoloj, kaj ĉiu konsistas el la respektiva triangula nombro da globetoj.

Kvaredra nombro, aŭ triangula piramida nombro, estas figuriga nombro kiu prezentas regulan kvaredron — piramidon kun triangula bazo kaj tri triangulaj flankoj.

La sinsekvo de kvaredraj nombroj $K_{n}$ por $n=1,2,3,\ldots$ komenciĝas tiel:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … — estas la sinsekvo A000292 en OEIS.

Formulo

La triangulo de Pascal

Formulo por $n$-a kvaredra nombro estas:

$K_{n}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}.$

Ankaŭ la formulon oni povas esprimi per binoma koeficiento:

$K_{n}={\binom {n+2}{3}}.$

En $n$-a linio (komence de la 3-a) de la triangulo de Pascal, la 4-a nombro (de la komenco aŭ de la fino de la linio) estas $K_{n-2}$, t. e. la $(n-2)$-a kvaredra nombro.

Pruvo

La formulo de la $n$-a triangula nombro estas:

$T_{n}={n(n+1) \over 2}.$

Ni pruvu per indukto:

La bazo de la indukto

$K_{1}=1={1\cdot 2\cdot 3 \over 6}.$

La paso de la indukto

$K_{n+1}=K_{n}+T_{n+1}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}={\frac {(n+1)(n+2)(n+3)}{6}}.$

Ecoj

• La $n$-a kvaredra nombro estas la sumo de la $n$ unuaj triangulaj nombroj

$K_{n}=T_{1}+T_{2}+\ldots +T_{n}.$

• A. J. Meyl pruvis en la 1878-a ke nur tri kvaredraj nombroj estas perfektaj kvadratoj:

$K_{1}=1^{2}=1$;

$K_{2}=2^{2}=4$;

$K_{48}=140^{2}=19600$.

• Ekzistas nur kvin kvaredraj nombroj kiuj samtempe estas triangulaj (la sinsekvo A027568 en OEIS):

$K_{1}=T_{1}=1$;

$K_{3}=T_{4}=10$;

$K_{8}=T_{15}=120$;

$K_{20}=T_{55}=1540$;

$K_{34}=T_{119}=7140$.

Por tiuj nombroj ĝustas sekva egalaĵo:

$K_{n}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={m(m+1) \over 2}=T_{m}.$

(Se oni rigardas la nombron 0 kiel $K_{0}$ do ankaŭ ĝi estas kaj perfekta kvadrato kaj triangula nombro).

• Oni povas rimarki ke:

$K_{5}=K_{4}+K_{3}+K_{2}+K_{1}.$

• Pareco de la kvaredraj nombroj ripetas laŭ la sekva ciklo: nepara-para-para-para (estas evidente el la formulo).

• La sumo de nefinia serio de inversoj de kvaredraj nombroj estas:

$\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over K_{n}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}.$

Mult-dimensia ĝeneraligo

Kiel mult-dimensia ĝeneraligo de la triangulaj kaj kvaredraj nombroj oni povas rigardi kvanton da k-dimensiaj sferoj, kiujn oni povas paki en k-dimensian regulan simplaĵon. Por k-dimensia spaco n-an nombron oni povas kalkuli per la formulo:

$T_{n}(k)={\frac {\prod _{i=0}^{k-1}(n+i)}{k!}}.$