Leĝo de inercio de Sylvester

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En lineara algebro, leĝo de inercio de Sylvester estas teoremo priskribanta invariantojn de simetriaj kvadrataj matricoj kun reelaj elementoj kaj de reelaj kvadrataj formoj.

Ĝi estas nomita post J. J. Sylvester kiu publikigis pruvon de ĝi en 1852.

Estu A esti reela simetria kvadrata n×n matrico. Ĉiu ne-degenera matrico S de la sama amplekso konvertas A en alian simetrian matricon B kiel

B = SAST

kaj B estas dirita al esti ekvivalenta al A. Transformoj de ĉi tiu speco priskribas efikon de ŝanĝo de koordinatoj sur la matrico de kvadrata formo en la n-dimensia reela vektora spaco.

Simetria matrico A povas ĉiam esti konvertita en ekvivalentan diagonalan matricon kun elementoj 0, 1 kaj -1 laŭ la diagonalo. Leĝo de inercio de Sylvester statas ke la kvantoj de diagonalaj elementoj de la tri valoroj estas invariantoj de A, kio estas ili ne dependas de la matrico S. La kvanto da 0, signifata kiel n0, egalas al dimensio de la kerno de A, kaj ankaŭ al la kunrango de A. La kvanto da 1, signifata kiel n+, estas nomata kiel la pozitiva indekso de inercio. La kvanto da -1, signifata kiel n-, estas nomata kiel la negativa indekso de inercio. La rezulto de subtraho de la pozitiva kaj negativa indeksoj estas nomata kiel la signumo de A:

sign(A) = n+-n-

Iam la termino signumo temas pri la tuta triopo (n0, n+, n-). Sumo de ĉi tiuj nombroj egalas al la dimensio de la matrico

n0+n++n-=n

Se la matrico A havas la propraĵon ke ĉiu ĉefa supra maldekstra k×k minoro Δk estas nenula, tiam la negativa indekso de inercio egalas al la kvanto de ŝanĝoj de signumoj en la vico

Δ0, Δ1, ..., Δn

kie estas aldone difinite ke Δ0=1 kaj

Δn = det(A)

La pozitiva kaj negativa indeksoj de inercio de A povas ankaŭ esti karakterizitaj kiel la kvantoj de pozitivaj kaj negativaj ajgenoj de A.

Leĝo de inercio por kvadrataj formoj[redakti | redakti fonton]

Reela kvadrata formo q de n variabloj (aŭ sur n-dimensia reela vektora spaco) povas per taŭga ŝanĝo de bazo esti skribita en diagonala formo

 q(v) = q(x_1, x_2, \ldots, x_n)=\sum_{i=1}^{n}a_i x_i^2

kun ĉiu ai estas en {0, 1, -1}. Leĝo de inercio de Sylvester statas ke la kvanto de koeficientoj de ĉiu el la tri valoroj estas invarianto de q, kio estas ke la kvanto ne dependas sur aparta elekto de la diagonaliga bazo. Esprimita geometrie, la leĝo de inercio statas ke ĉiuj maksimumaj subspacoj sur kiuj la kvadrata formo estas pozitive difinita havas la saman dimension. Simile ĉiuj maksimumaj subspacoj sur kiuj la kvadrata formo estas negative difinita havas la saman dimension. Ĉi tiuj dimensioj estas la pozitiva kaj negativa indeksoj de inercio respektive.

Ankaŭ,

  • n+ estas kvanto de vektoroj ei de la bazo tiaj ke q(ei)>0;
  • n- estas kvanto de vektoroj ei de la bazo tiaj ke q(ei)<0;
  • n0 estas kvanto de vektoroj ei de la bazo tiaj ke q(ei)=0.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]