Plenigo de kvadrato

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Plenigo de kvadrato estas tekniko de rudimenta algebro en kio esprimo

x^2+bx+c

estas anstataŭigita per esprimo de la formo

(x+d)^2+e

Do:

\begin{matrix}ax^2 + bx + c &=& a\left(x^2 + \frac{bx}{a}\right) +c \\
&=& a\left(x^2 + \frac{bx}{a} + \left(\frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2}\right)\right) + c \\
&=& a\left(x^2+2\frac{bx}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)-\frac{b^2}{4a} +c \\
&=& a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a} + c
\end{matrix}

Plenigo de kvadrato plisimpligas esprimon engaĝantan plenan kvadratan polinomon al engaĝantan nur kvadraton kaj konstanton.

Vidi ankaŭ jenon: kvadrata ekvacio

Ekzemplo[redakti | redakti fonton]

Simpla ekzemplo estas:

x^2+4x = x^2+4x+4-4 = (x+2)^2-4

Nun, konsideru la problemon de trovo de malderivaĵo de ĉi tio:

\int\frac{dx}{9x^2-90x+241}.

La denominatoro estas

9x^2-90x+241=9(x^2-10x)+241.

Adicio de (10/2)2 = 25 al x2 - 10x donas perfektan kvadraton x2 - 10x + 25 = (x - 5)2. Do:

9(x^2-10x)+241=9(x^2-10x+25)+241-9(25)=9(x-5)^2+16.

Kaj la malderivaĵo estas

\int\frac{dx}{9x^2-90x+241}=\frac{1}{9}\int\frac{dx}{(x-5)^2+(4/3)^2}=\frac{1}{9}\cdot\frac{3}{4}\arctan\frac{3(x-5)}{4}+C.