Radiko de unu

En matematiko, la n-radikoj de 1 aŭ nombroj de Moivre estas ĉiuj kompleksaj nombroj kiu donas nombron 1 se estas potencitaj je donita povo n. Ili situas en la unuocirklo de kompleksa ebeno kaj ili formas kiel verticoj n-flankitan regulan poligonon kun unu vertico en punkto 1.

Difino

Tiuj kompleksaj nombroj $z$, kiuj solvas la ekvacion

$z^n = 1 \qquad (n = 1, 2, 3, \dots )$,

estas nomitaj $n$-radikoj de $1$.

Estas $n$ malsamaj $n$-radikoj de $1$:

$e^{2 \pi i k/n} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1).$

Primitivaj radikoj

La n-radikoj de 1 formas multiplikan ciklan grupon de ordo n. Generilo por ĉi tiu cikla grupo estas primitiva n-radiko de 1. La primitiva n-radikoj de 1 estas $e^{2 \pi i k/n}$ kie k kaj n estas interprimoj. La kvanto de malsamaj primitivaj n-radikoj de 1 estas φ(n).

Ekzemploj

Estas nur unu 1-radiko de 1, egala al 1.

2-radikoj de 1 estas +1 kaj -1, nur -1 estas la primitiva.

3-radikoj de 1 estas

$\left\{ 1, \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\} ,$

kie $i$ estas la imaginara unuo; la lastaj du estas la primitivaj.

4-radikoj de 1 estas

$\left\{ 1, +i, -1, -i \right\} ,$

kaj $+i$ kaj $-i$ estas la primitivaj.

Sumado

Se n≥2 sumo de ĉiuj n-radikoj de 1 egalas al 0.

Vidu ankaŭ

• Radiko (matematiko)
• Kvadrata radiko
• Kuba radiko