Rando (topologio)

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Por malsama nocio de rando ĉe duktoj, vidu en artikolo rando (dukto).

Aro en R2:
rando - malhela blua,
eno - hela verdblua

En topologio, rando de subaro S de topologia spaco X estas aro de punktoj kiuj povas esti aliritaj ambaŭ de S kaj de ekstere de S.

Pli formale, rando estas aro de punktoj en la fermaĵo de S, ne apartenanta al la eno de S. Ĉiu punkto en la rando de S estas randa punkto de S. Skribmanieroj uzita por rando de aro S estas bd(S), fr(S), ∂S.

Difinoj[redakti | redakti fonton]

Estas kelkaj komunaj kaj ekvivalentaj difinoj de la rando de subaro S de topologia spaco X:

  • La aro de punktoj p de X tiaj ke ĉiu najbaraĵo de p enhavas almenaŭ unu punkto de S kaj almenaŭ unu punkton ne de S.
  • La fermaĵo de S sen la eno de S: \partial S = \bar{S}\setminus S^o .
  • La komunaĵo de la fermaĵo de S kun la fermaĵo de ĝia komplemento: \partial S = \bar{S} \cap \overline{ (X \setminus S)}.

Ekzemploj[redakti | redakti fonton]

Konsideru la reelan linion R kun la kutima topologio (kio estas la topologio kies bazaj aroj estas malfermitaj intervaloj). Do:

La lastaj du ekzemploj ilustras tion ke la rando de densa aro kun malplena eno estas ĝia fermaĵo.

En la spaco de racionalaj nombroj kun la kutima topologio (la subspaca topologio de R), la rando de la aro de nombroj kies la kvadrato estas malpli ol 2 estas malplena, ĉar la √2 ne apartenas al la spaco.

La rando de aro estas topologia nocio kaj povas ŝanĝiĝi se ŝanĝiĝas la topologio. Ekzemple, por la kutima topologio sur R2, la rando de fermita disko Ω={(x, y): x2+y2 ≤ 1} estas la cirklo ĉirkaŭbaranta cirklo: ∂Ω = {(x, y) | x2+y2 = 1}. Se la sama disko estas vidata kiel aro en R3 kun ĝia kutima topologio, kio estas Ω={(x, y, 0): x2+y2 ≤ 1}, tiam la rando de la disko estas la tuta disko mem: ∂Ω = Ω. Se la disko estas vidita kiel la tuta topologia spaco (kun la konkludis topologio), tiam la rando de la disko estas malplena.

Propraĵoj[redakti | redakti fonton]

  • La rando de aro estas fermita aro.
  • La rando de aro estas la rando de la komplemento de la aro: \partial S = \partial S^c.

De ĉi tie:

  • p estas randa punkto de aro se kaj nur se ĉiu najbaraĵo de p enhavas almenaŭ unu punkton en la aro kaj almenaŭ unu punkton ne en la aro.
  • Aro estas fermita aro se kaj nur se ĝi enhavas sian randon, kaj malfermita aro se kaj nur se ĝi estas disa de ĝia rando.
  • La fermaĵo de aro egalas al kunaĵo de la aro kun ĝia rando. \bar{S} = S \cup\partial S .
  • La rando de aro estas malplena se kaj nur se la aro estas ambaŭ fermita kaj malfermita, kio estas fermito-malfermita aro.
  • En Rn, ĉiu (fermita, fermis) aro estas la rando de iu aro.

Rando de rando[redakti | redakti fonton]

Por ĉiu aro S, ∂S ⊇ ∂∂S, kun egaleco tenanta se kaj nur se la rando de S ne havas enajn punktojn. Ĉi tiu estas ĉiam vera se S estas fermita aŭ malfermita. Pro tio ke la rando de ĉiu aro estas fermita, ∂∂S = ∂∂∂S por ĉiu aro S.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]