Ripetita cifereca sumo

La ripetita cifereca sumo, ankaŭ sciata kiel cifereca sumo de nombro povas esti trovita per adicio de ĉiuj ciferoj de nombro, poste de adicio de ĉiuj ciferoj de la rezulto, kaj tiel plu, ĝis kiam la fina rezulto estas unu-cifera nombro.

Noto pri la nombra bazo:

La $f(n)$ kaj $f_{\sigma}(n)$ operacioj povas esti plenumita en ĉiu bazo, sed se ne alie komentita, ĉiuj operacioj estas en bazo 10.

Formala difino

Estu $f(n)$ sumo de ciferoj de $n$. Eble la vico $f(n),f(f(n)),f(f(f(n))),\dotsb$ iĝas konstanton post iu ripeto. Estu $f_{\sigma}(n)$ (la cifereca sumo de $n$) prezenti ĉi tiu konstanta valoro.

Ekzemplo

Lasi us trovi la cifereca sumo de $1853$.

$f(1853)=17\,$

$f(17)=8\,$

Tial, $f_{\sigma}(1853)=8$.

Pruvo (tiu, ke) konstanta valoro ekzistas

Sed kiel fari ni (ebena, para) scii (tiu, ke) la vico $f(n),f(f(n)),f(f(f(n))),\dotsb$ eble iĝas konstanto? Ĉi-tie's pruvo:

Lasi $x=d_1+10d_2+\dotsb+10^{n-1}d_n$, kun $0\le d_i\in\mathbb{Z}<10$ (Por ĉiuj $i$, $d_i$ estas entjero pli granda ol ĉu egala al $0$ kaj malpli ol $10$). Tiam, $f(x)=d_1+d_2+\dotsb+d_n$. Ĉi tiu (meznombroj, signifas) (tiu, ke) $f(x)<x$, se ne $d_2,d_3,\dotsb,d_n=0$, en kiu (kesto, okazo) $x$ estas unu-cifera nombro. Tial, multfoje uzanta la $f(x)$ funkcio devus kaŭzo $x$ al malgrandiĝi, ĝis ĝi iĝas unu-cifera nombro, je kiu punkta ĝi estos resti konstanto, kiel $f(d_1)=d_1$.

Vidi ankaŭ

• Cifereca sumo
• Cifereca radiko