En matematiko, la kvocienta regulo estas idento por derivaĵo de funkcio kiu estas la kvociento de du la aliaj funkcioj por kiuj la derivaĵoj ekzistas.
Se la funkcio f(x) estas donita kiel
![{\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a3015775a256d35a32493d1322366b2e08458c)
kaj h(x)≠0, tiam la derivaĵo de f(x) estas
![{\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {{\frac {dg(x)}{dx}}h(x)-g(x){\frac {dh(x)}{dx}}}{(h(x))^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acafb7dbd30e03f98278ca1cc7016dfc4d1ddc12)
aŭ en la alia skribmaniero
![{\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a363bc1551112ecd92a907c6f69d89c1b4b6d9)
Pli detale, se por ĉiu x en iu malfermita aro enhavanta nombron a, h(x)≠0 kaj g'(a) kaj h'(a) ambaŭ ekzistas do f'(a) kaj
![{\displaystyle f'(a)={\frac {g'(a)h(a)-g(a)h'(a)}{(h(a))^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34c24e601d57494cee7d5decfef955cc0d1ae728)
- g(x) = sin(x)
- g'(x) = cos(x)
- h(x) = cos(x)
- h'(x) = -sin(x)
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{w\to 0}{\frac {f(x+w)-f(x)}{w}}=\lim _{w\to 0}{\frac {{\frac {g(x+w)}{h(x+w)}}-{\frac {g(x)}{h(x)}}}{w}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f7ff118ac0d9e2d47da41067c627f7c5706f1fc)
Oni eligu la 1/w kaj kombinu la frakciojn en la numeratoro:
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{w\to 0}{\frac {1}{w}}\left({\frac {g(x+w)h(x)-g(x)h(x+w)}{h(x)h(x+w)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be562e968bd85e231b0c4b4575c6a580a018f0a0)
Adiciante kaj subtrahante de g(x)h(x) en la numeratoro:
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{w\to 0}{\frac {1}{w}}\left({\frac {(g(x+w)h(x)-g(x)h(x)-g(x)h(x+w)+g(x)h(x)}{h(x)h(x+w)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f33f7c4183281b48891cc09501e9efacc3cef318)
Oni faktorigu ĉi tion kaj multipliku je la 1/w tra la numeratoro:
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{w\to 0}{\frac {{\frac {g(x+w)-g(x)}{w}}h(x)-g(x){\frac {h(x+w)-h(x)}{w}}}{h(x)h(x+w)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f59fc23eae7d4cbeafddf1e610391a8e09d20f)
Nun oni movu la limigon tra:
![{\displaystyle f'(x)={\frac {\lim _{w\to 0}\left({\frac {g(x+w)-g(x)}{w}}\right)h(x)-g(x)\lim _{w\to 0}\left({\frac {h(x+w)-h(x)}{w}}\right)}{h(x)h(\lim _{w\to 0}(x+w))}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4b4b7ea22fa54e020fef6634666581748fc6c04)
Laŭ la difino, la limigoj en la numeratoro estas derivaĵoj, kaj do tiel:
![{\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82716522b2b3cc19edf82b02a632d1b6156d0759)
Se
![{\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a3015775a256d35a32493d1322366b2e08458c)
do
- g(x) = f(x)h(x)
kaj
- g'(x)=f'(x)h(x) + f(x)h'(x)
De ĉi tie per algebraj transformoj eblas ricevi formulon por f'(x).
![{\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}}={\frac {g'(x)-{\frac {g(x)}{h(x)}}h'(x)}{h(x)}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d50791aba5fea81577774e28599de6f20a5937fe)
![{\displaystyle ={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/113dea1e59209ea80435f9b7837a19956718f11a)
Ankaŭ eblas apliki la regulo por derivaĵo de produto rekte se 1/h(x) estas konsiderata kiel la dua multiplikato :
![{\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}=g(x){\frac {1}{h(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc8619b0c54f541c2c097c366672c604a516e1a4)
Kun tio ke
rezultas
![{\displaystyle f'(x)=g'(x)(h(x))^{-1}+g(x)(-(h(x))^{-2}h'(x))={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c312ba21c9321a93322176151025bae0453a5cd6)
Funkcio
povas esti konsiderata kiel funkcio de du variabloj g kaj h, ĉiu el kiuj en sia vico estas funkcio de x.
Ambaŭ partaj derivaĵoj de f je g kaj h povas esti trovitaj:
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial g}}={\frac {1}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bbd05e5e4553117f3b0d6a60d58326c4d7dfb5a)
kie h estas konsiderata kiel konstanto; kaj
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial h}}=g\cdot {\frac {-1}{h^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f6789183ab17145a4fe057dec04aae7759fc184)
kie g estas konsiderata kiel konstanto.
Tiam
![{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial g}}g'(x)+{\frac {\partial f}{\partial h}}h'(x)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cb785509f974c67376aec4f396b105af75fb0ca)
![{\displaystyle ={\frac {1}{h(x)}}g'(x)+g(x){\frac {-1}{(h(x))^{2}}}h'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d2115936f8dad176e132a57c47ed7d471df622a)