Faktoreca ringo

En ringo-teorio, faktoreca ringo estas integreca ringo, kies ĉiu nenula elemento estas esprimebla kiel produto de nemalkomponeblaj elementoj, esence unike.

Difino

Pri integreca ringo $R$, la jenaj kondiĉoj estas ekvivalentaj:

• (Unikeco de faktorigo per nemalkomponeblaj elementoj) ĉiu nenula elemento $x\in R$ estas esprimebla kiel produto de la nemalkomponeblaj elementoj de $R$ kaj inversigebla elemento, kaj tia esprimo estas unika je la senco ke, se $x=up_{1}p_{2}\dotsm p_{m}=vq_{1}q_{2}\dotsm q_{n}$ kaj $u,v\in R^{\times }$ kaj $p_{1},\dotsc ,p_{m},q_{1},\dotsc ,q_{n}$ estas nemalkomponeblaj, do ① $m=n$, kaj ② ekzistas permuto $\sigma \colon \{1,\dotsc ,m\}\to \{1,\dotsc ,n\}$ kaj inversigeblaj elementoj $w_{1},\dotsc ,w_{n}\in R^{\times }$ tiaj ke $p_{i}=w_{i}q_{\sigma (i)}$ por ĉiu $i\in \{1,\dotsc ,m\}$.
• (Faktorigeblo per primaj elementoj) ĉiu nenula elemento estas esprimebla kiel produto de inversigebla elemento kaj nul, unu, aŭ pluraj prima(j) elemento(j).
• Ĉiu nenula prima idealo de $R$ enhavas priman elementon.

Ringo plenumanta la ĉi-suprajn kondiĉojn nomiĝas faktoreca ringo.

Ekzemploj

Ĉiu ĉefideala integreca ringo estas faktoreca ringo.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Unique factorization domain en MathWorld.