Kontinuumo-hipotezo

En matematiko, la kontinuaĵa hipotezo (iam mallonge CH) estas hipotezo pri la eblaj ampleksoj de malfiniaj aroj. Ĝi statas ke ne ekzistas aro kies kardinalo estas severe inter kardinalo de aro de entjeroj kaj kardinalo de aro de reelaj nombroj.

La hipetezo estas de Georg Cantor de 1877. Kontrolado de vereco aŭ malvereco de la kontinuaĵa hipotezo estas la unua el la 23 hilbertaj problemoj prezentitaj en 1900. Laboroj de Kurt Gödel en 1940 kaj Paul Cohen en 1963 montris ke la hipotezo povas esti nek pruvita nek malpruvita uzante la aksiomojn de aroteorio de Zermelo-Fraenkel, la norma fundamento de moderna matematiko, se la aroteorio estas konsekvenca.

La nomo de la hipotezo venas de la termino "kontinuaĵo" por la aro de reelaj nombroj.

Kardinaloj de malfiniaj aroj

Du aroj havas la saman kardinalon aŭ potencon de aro se ekzistas reciproke unuvalora surĵeto (bijekcia rilato) inter ili. Tiel, tio ke du aroj S kaj T havas la saman kardinalon signifas ke eblas parigi erojn de S kun eroj de T en tia maniero ke ĉiu ero de S estas parita kun akurate unu ero de T kaj samtempe ĉiu ero de T estas parita kun akurate unu ero de S.

Kun malfiniaj aroj kiel la aro de entjeroj aŭ racionalaj nombroj, ĉi tio estas pli komplika al demonstracii ol por finiaj aroj. La racionalaj nombroj ŝajne formas kontraŭekzemplon al la kontinuaĵa hipotezo: la racionalaj nombroj formas propran superaron de la entjeroj, kaj propran subaron de la reelaj nombroj, tiel intuicie, devus esti pli multaj racionalaj nombroj ol entjeroj, kaj malpli multaj racionalaj nombroj ol reelaj nombroj. Tamen, ĉi tiu intuicia analizo ne prenas en konsideron tion ke ĉiuj tri aroj estas malfiniaj. Okazas ke la racionalaj nombroj povas esti en bijekcia rilato kun la entjeroj, kaj pro tio la aro de racionalaj nombroj havas la saman kardinalon kiel la aro de entjeroj, ili estas ambaŭ kalkuleblaj aroj.

Cantor donis du pruvoj ke la kardinalo de la aro de entjeroj estas severe pli malgranda ol kardinalo de la aro de reelaj nombroj; la dua el ĉi tiuj estas la diagonala argumento de Cantor. Liaj pruvoj, tamen, ne montras la amplekson je kiu la kardinalo de la naturaj nombroj estas malpli granda ol la kardinalo de la reelaj nombroj. Cantor proponis la kontinuaĵan hipotezon kiel ebla solvo al ĉi tiu demando.

La hipotezo statas ke la aro de reelaj nombroj havas minimuman eblan kardinalon kiu estas pli granda ol la kardinalo de la aro de entjeroj. Ekvivalente, se la kardinalo de la entjeroj estas $\aleph _{0}$ ("alef-nulo") kaj la kardinalo de la reelaj nombroj estas $2^{\aleph _{0}}$, la kontinuaĵa hipotezo statas ke ne ekzistas aro S tia ke

$\aleph _{0}<|S|<2^{\aleph _{0}}$

Alprenante la aksiomon de elekto, estas plej malgranda kardinalo $\aleph _{1}$ pli granda ol $\aleph _{0}$, kaj la kontinuaĵa hipotezo estas laŭvice ekvivalenta al la egaleco

$2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$

Konsekvenco de la hipotezo estas ke ĉiu malfinia subaro de la reelaj nombroj havas la saman kardinalon kiel la aro de entjeroj aŭ la saman kardinalon kiel la tuta aro de reelaj nombroj.

Estas ankaŭ ĝeneraligo de la kontinuaĵa hipotezo, la ĝeneraligita kontinuaĵa hipotezo kiu statas ke por ĉiu orda numero $\alpha$,

$2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}$

Neebleco de pruvo kaj malpruvo

Cantor kredis ke la kontinuaĵa hipotezo estas vera kaj provis dum multaj jaroj pruvi ĝin, sed vane. Ĝi iĝis la unua en listo de hilbertaj problemoj (listo de gravaj malfermitaj demandoj) kiu estis prezentita en la Internacia Kongreso de Matematikistoj en la jaro 1900 en Parizo. Aksioma aroteorio estis tiam ankoraŭ ne formulita.

Kurt Gödel montris en 1940 ke la kontinuaĵa hipotezo ne povas esti malpruvita de la norma aroteorio de Zermelo-Fraenkel (ZF), eĉ se la aksiomo de elekto estas alprenata (ZFC). Paul Cohen montris en 1963 ke la kontinuaĵa hipotezo ne povas esti pruvita de ĉi tiuj samaj aksiomoj. De ĉi tio, la kontinuaĵa hipotezo estas sendependa de aroteorio de Zermelo-Fraenkel kun aksiomo de elekto. Ambaŭ ĉi tiuj rezultoj alprenas ke la aksiomoj de Zermelo-Fraenkel mem ne enhavas kontraŭdiron, ĉi tiu supozo estas larĝe kredata al esti vera.

La kontinuaĵa hipotezo estas proksime rilatanta al multaj frazoj en analitiko, punkta ara topologio kaj mezura teorio. Sekve de ĝia sendependeco, multaj gravaj konjektoj en tiuj kampoj estas montritaj al esti same sendependaj.

Tiel, la kontinuaĵa hipotezo ŝajnas esti sendependa de ĉiuj sciataj grandaj kardinalaj aksiomoj en la ĉirkaŭteksto de aroteorio de Zermelo-Fraenkel kun aksiomo de elekto.

La negativaj rezultoj de Gödel kaj Cohen ne estas ĝenerale akceptataj kiel respondo al la hipotezo, kaj la problemo restas en aktiva moderna esploro.

Argumentoj por kaj kontraŭ

Gödel kredis ke la kontinuaĵa hipotezo estas malvera kaj ke lia pruvo ke la kontinuaĵa hipotezo estas konsekvenca nur montras ke la aksiomoj de Zermelo-Fraenkel ne sufiĉas por priskribi la universon de aroj. Gödel estis platonisto kaj pro tio havis ne problemojn kun asertado de vereco kaj malvereco de frazoj sendepende de ilia pruvebleco. Cohen, kvankam esti formalisto, ankaŭ strebis al malakceptado de la kontinuaĵa hipotezo.

Historie, matematikistoj kiu komplezis pli riĉan kaj grandan universon de aroj estis kontraŭ la kontinuaĵa hipotezo, dum tiuj komplezantaj netan kaj kontroleblan universon komplezis la kontinuaĵan hipotezon. Paralelaj argumentoj estis faritaj por kaj kontraŭ la aksiomo de konstruebleco, kiu implicas la kontinuaĵan hipotezon. Pli lastatempe, Matthew Foreman eltiris ke ontologia maksimumismo povas reale esti uzata por argumenti en komplezo de la kontinuaĵa hipotezo, ĉar inter modeloj kiuj havas la samajn reelajn nombrojn, modeloj kun "pli multaj" aroj de reelaj nombroj havas pli bonan ŝancon de verigo de la kontinuaĵa hipotezo.

Alia starpunkto estas ke la koncepto de aro ne estas sufiĉe preciza por decidi ĉu la kontinuaĵa hipotezo estas vera aŭ malvera. Ĉi tiu starpunkto estis ekigita en 1923 de Skolem, eĉ antaŭ la unua nepleneca teoremo de Gödel. Skolem argumentis surbaze de tio kio estas nun sciata kiel paradokso de Skolem, kaj ĝi estis poste subtenata per la sendependeco de la kontinuaĵa hipotezo de la aksiomoj de ZFC, pro tio ke ĉi tiuj aksiomoj estas sufiĉaj por fondi la rudimentajn propraĵojn de aroj kaj kardinaloj. Por argumenti kontraŭ ĉi tiu starpunkto, devus esti sufiĉa al demonstracii novajn aksiomojn kiuj estas subtenataj per intuicio kaj solvas la kontinuaĵan hipotezon en unu aŭ alia direkto. Kvankam la aksiomo de konstruebleco solvas la kontinuaĵan hipotezon, ĝi ne pli estas ĝenerale konsiderata kiel intuicie vera ol la kontinuaĵa hipotezo estas ĝenerale konsiderata kiel malvera.

Almenaŭ du aliaj aksiomoj estas proponitaj kiuj havas sekvojn por la kontinuaĵa hipotezo, kvankam ĉi tiuj aksiomoj nun ne trovas larĝan akcepton en la matematika komunumo. En 1986, Chris Freiling prezentis argumenton kontraŭ la kontinuaĵa hipotezo per montrado ke la nego de la kontinuaĵa hipotezo estas ekvivalenta al aksiomo de simetrio de Freiling, aserto pri probabloj. Freiling kredas ke ĉi tiu aksiomo estas "intuicie vera" sed la aliaj malkonsentas. Malfacila argumento kontraŭ la kontinuaĵa hipotezo ellaborita de W. Hugh Woodin allogis konsidereblan atenton ekde la jaro 2000. Foreman ne malakceptas la argumenton de Woodin sed donas averton.

Ĝeneraligita kontinuaĵa hipotezo

La ĝeneraligita kontinuaĵa hipotezo (GCH) statas ke se la kardinalo de malfinia aro T estas inter la kardinalo de malfinia aro S kaj la kardinalo de la aro de ĉiuj subaroj de S, tiam la kardinalo de T estas la sama kiel la kardinalo la aro S aŭ la kardinalo de T estas la sama kiel la kardinalo de la aro de ĉiuj subaroj de S. Tio signifas ke por ĉiu malfinia kardinalo λ ne ekzistas kardinalo κ tia ke λ<κ<2^λ. Ekvivalenta kondiĉo estas ke $\aleph _{\alpha +1}=2^{\aleph _{\alpha }}$ por ĉiu orda numero α. La alia skribmaniero por ĉi tiu kondiĉo estas $\aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }$ por ĉiu orda numero α.

Ĉi tio estas ĝeneraligo de la kontinuaĵa hipotezo pro tio ke la kontinuaĵo havas la saman kardinalon kiel la aro de ĉiuj subaroj de la entjeroj. Simile al la kontinuaĵa hipotezo, la ĝeneraligita kontinuaĵa hipotezo estas ankaŭ sendependa de ZFC. Tamen Wacław Sierpiński pruvis ke la aksiomoj de Zermelo-Fraenkel kune kun la ĝeneraligita kontinuaĵa hipotezo implicas la aksiomon de elekto. Tiel la aksiomo de elekto kaj la ĝeneraligita kontinuaĵa hipotezo estas ne sendependaj en aroteorio de Zermelo-Fraenkel; ne ekzistas modeloj de aroteorio de Zermelo-Fraenkel en kiuj la ĝeneraligita kontinuaĵa hipotezo veras kaj la aksiomo de elekto malveras.

Kurt Gödel montris ke la ĝeneraligita kontinuaĵa hipotezo estas konsekvenco de la aksiomoj de Zermelo-Fraenkel kune kun la aksiomo de konstruebleco (la aksiomo ke ĉiu aro estas konstruebla relative al la ordaj numeroj), kaj estas akordigebla kun ZFC. Pro tio ke la ĝeneraligita kontinuaĵa hipotezo implicas la kontinuaĵan hipotezon, modelo de Cohen en kiu la kontinuaĵa hipotezo malveras estas modelo en kiu la ĝeneraligita kontinuaĵa hipotezo malveras, kaj tial la ĝeneraligita kontinuaĵa hipotezo estas ne demonstrebla de ZFC. W. B. Easton uzis la manieron de altrudado ellaboritan de Cohen por pruvi la teoremon de Easton, kiu montras ke estas akordigeble kun ZFC ke por arbitre grandaj kardinaloj $\aleph _{\alpha }$, $2^{\aleph _{\alpha }}\neq ;\aleph _{\alpha +1}$. Multe poste, Matthew Foreman kaj W. Hugh Woodin pruvis, supozante la akordigeblecon de tre grandaj kardinaloj, ke estas akordigeble ke $2^{\kappa }>\kappa ^{+}\,$ veras por ĉiu malfinia kardinalo κ. Poste Woodin etendis ĉi tion per montrado de la akordigebleco de $2^{\kappa }=\kappa ^{++}\,$ por ĉiu κ. Lastatempa rezulto de Carmi Merimovich montras ke, por ĉiu n≥1, estas akordigeble kun ZFC ke por ĉiu κ, 2^κ estas la n-a sekvanto de κ. Aliflanke, László Patai pruvis, ke se γ estas orda numero kaj por ĉiu malfinia kardinalo κ, 2^κ estas la γ-a sekvanto de κ, do γ estas finia.

Por ĉiuj malfiniaj aroj A kaj B, se estas injekto de A al B, do estas injekto de subaroj de A al subaroj de B. Tial por ĉiuj malfiniaj kardinaloj |A| kaj |B|,

se |A| < |B| do 2^|A| ≤ 2^|B|

Se A kaj B estas finiaj, veras la pli forta neegalaĵo

se |A| < |B| do 2^|A| < 2^|B|

Ĝeneraligita kontinuaĵa hipotezo implicas ke la lasta severa, pli forta neegalaĵo veras ankaŭ por malfiniaj kardinaloj.

Implikacioj por potencigo de kardinaloj

Kvankam la ĝeneraligita kontinuaĵa hipotezo temas rekte nur pri potencigo de kardinaloj kun 2 kiel la bazo, el ĝi eblas konkludi la valorojn de potencigo de kardinaloj en ĉiuj okazoj. Ĝi implicas ke

$\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\beta +1}$ se α ≤ β+1;

$\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\alpha }$ se β+1 < α kaj $\aleph _{\beta }<\operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })$ kie cf estas la kunfinia operacio;

$\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\alpha +1}$ se β+1 < α kaj $\aleph _{\beta }\geq \operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })$.

Vidu ankaŭ

• Alef-nombro
• Beth-nombro
• Kardinala nombro
• Kardinalo de kontinuaĵo
• Ω-logiko

Eksteraj ligiloj

• Ĝeneraligita kontinuaĵa hipotezo en PlanetMath.
• Cohen, Paul J. (15-a de decembro, 1963). The Independence of the Continuum Hypothesis - La sendependeco de la kontinuaĵa hipotezo. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America - Paperoj de la nacia akademio de sciencoj de Usono 50 (6) 1143–1148. COI:10.1073/pnas.50.6.1143. pmid 16578557, pmc 221287.
• Cohen, Paul J. (15-a de januaro, 1964). The Independence of the Continuum Hypothesis, II - La sendependeco de la kontinuaĵa hipotezo, II. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America - Paperoj de la nacia akademio de sciencoj de Usono 51 (1) 105–110. COI:10.1073/pnas.51.1.105. pmid 16591132, pmc 300611.
• Foreman, Matt (2003). Has the Continuum Hypothesis been Settled? - Ĉu la kontinuaĵa hipotezo estas finaranĝita? (PDF). Kontrolita en 25-a de februaro, 2006.
• Freiling, Chris (1986). Axioms of Symmetry: Throwing Darts at the Real Number Line - Aksiomoj de simetrio: Ĵetante sagetojn je la reela nombra linio. Journal of Symbolic Logic - Ĵurnalo de signa logiko 51 (1) 190–200. COI:10.2307/2273955.
• Maddy, Penelope (Junio 1988). Believing the Axioms, I - Kredado je la aksiomoj, I. Journal of Symbolic Logic - Ĵurnalo de signa logiko 53 (2) 481–511. COI:10.2307/2274520.
• McGough, Nancy. The Continuum Hypothesis - La kontinuaĵa hipotezo.
• Merimovich, Carmi (2007). A power function with a fixed finite gap everywhere - Potenca funkcio kun fiksita finia breĉo ĉie. Journal of Symbolic Logic - Ĵurnalo de signa logiko 72 (2) 361–417. COI:10.2178/jsl/1185803615.
• Woodin, W. Hugh (2001). The Continuum Hypothesis, Part I - La kontinuaĵa hipotezo, parto I (PDF). Notices of the AMS - Rimarkoj de la AMS 48 (6) 567–576.
• Woodin, W. Hugh (2001). The Continuum Hypothesis, Part II - La kontinuaĵa hipotezo, parto II (PDF). Notices of the AMS - Rimarkoj de la AMS 48 (7) 681–690.
• Vgl. J. Floyd, A. Kanamori: How Gödel Transformed Set Theory - Kiel Gödel transformigis la aroteorion, Notices of the AMS - Rimarkoj de la AMS 53.2006, S.424. ISSN 0002-9920
• [1]
• [2]