Neegalaĵo de triangulo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Nedegenera (supre) kaj degenera (sube) trianguloj

En matematiko, triangula neegalaĵoneegalaĵo de triangulo estas teoremo diranta ke por ĉiu triangulo, la mezuro de iu latero estas ne pli granda ol sumo de la aliaj du lateroj sed ne malpli granda ol la diferenco inter la aliaj du lateroj.

La triangula neegalaĵo estas teoremo en spacoj kun reelaj nombroj, en ĉiuj el eŭklidaj spacoj, la Lp spacoj (p ≥ 1), kaj ĉiuj enaj produtaj spacoj. Ĝi ankaŭ aspektas kiel aksiomo en la difino de multaj strukturoj en analitiko kaj funkcionala analitiko, kiel normigitaj vektoraj spacoj kaj metrikaj spacoj.

Por ĉiu nedegenera triangulo en eŭklida spaco, la mezuro de iu latero estas malpli granda ol sumo de la aliaj du lateroj sed pli granda ol la diferenco inter la aliaj du lateroj.

Normigita vektora spaco[redakti | redakti fonton]

En normigita vektora spaco V, la triangula neegalaĵo estas

||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||     por ĉiuj x, y en V

tio estas, la normo de la sumo de du vektoroj estas maksimume same granda kiel la sumo de la normoj de la du vektoroj.

La reela linio estas normigita vektora spaco kun la absoluta valoro kiel la normo, kaj tiel la triangulaj neegalaĵoj por ĉiu reelaj nombroj x kaj y estas:

|x+y| ≤ |x|+|y|

Metrika spaco[redakti | redakti fonton]

En metrika spaco M kun metriko d, la triangula neegalaĵo estas

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) por ĉiuj x, y, z en M

tio estas, la distanco de x al z estas maksimume same granda kiel la sumo de la distanco de x al y kaj la distanco de y al z.

Konsekvencoj[redakti | redakti fonton]

Jenaj konsekvencoj de la triangulaj neegalaĵoj estas ofte utila; ili doni subaj baroj anstataŭ superaj baroj:

| ||x|| - ||y|| | ≤ ||x - y|| aŭ por metriko | d(x, y) - d(x, z) | ≤ d(y, z)

Ĉi tio implicas ke la normo ||-|| kiel bone distanca funkcio d(x, -) estas 1-Lipschitz-a kaj pro tio kontinua.

Vidu ankaŭ en neegalaĵo de Koŝio-Schwarz.

Male en spaco de Minkowski[redakti | redakti fonton]

En la kutima spaco de Minkowski kaj en spaco de Minkowski etendita al ajna kvanto de spacaj dimensioj, alprenanta nulan aŭ tempsimilan vektorojn en la sama tempa direkto, la triangula neegalaĵo estas dorsflankita:

||x + y|| ≥ ||x|| + ||y|| por ĉiuj x, y en V tiaj ke ||x|| ≥ 0, ||y|| ≥ 0 kaj tx ty ≥ 0

Fizika ekzemplo de ĉi tiu neegalaĵo estas la ĝemela paradokso en speciala relativeco.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]