Obleco de intersekco

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En algebra geometrio, intersekca nombro estas obleco de intersekco de du kurboj.

Ekzemple du kurboj intersekcanta je punkto povas esti konsiderataj kiel intersekcantaj dufoje se ili estas tanĝantaj tie. La n-obla intersekco estas limiganta okazo de n apartaj intersekcoj je n malsamaj punktoj, se la punktoj estas movitaj tiel ke ili ekkoincidas.

Kalkulado de la obleco de intersekco bezonatas por preciza formulaĵo de teoremo de Bézout. Ankaŭ, teoremoj pri fiksaj punktoj estas pri intersekcoj de grafikaĵo de funkcio kun diagonaloj; oni deziras kalkuli la fiksajn punktojn kun obleco por ke havi la fiksan punktan teoremon de Lefschetz en kvanteca formo.

Pli ĝenerala okazo estas intersekcoj en pli alte-dimensia okazo kaj ankaŭ tiam povas esti necese konsideri de la oblecojn de ĉi tiaj intersekcoj. Ekzemple se ebeno estas tanĝanta al cilindra surfaco laŭ rekto, ĉi tiu rekto devas esti kalkulita kiel intersekco kun obleco 2.

Ĉi tiuj demandoj estas diskutitaj sisteme en komunaĵa teorio.

Intersekcaj oblecoj por ebenaj kurboj[redakti | redakti fonton]

Estas unika funkcio asignanta al ĉiu trio (P, Q, p) kie

P kaj Q estas polinomoj de du variabloj x kaj y, la variabloj estas de kampo K,
p estas punkto en K2

la intersekcan oblecon de P kaj Q je p - entjeron Ip(P, Q). Ĝi kontentigas jenajn propraĵojn:

  • Ip(P, Q) = Ip(Q, P)
  • Ip(P, Q) estas malfinia se kaj nur se P kaj Q havas komunan faktoron kiu estas nulo je p.
  • Ip(P, Q) = 0 se kaj nur se minimume unu el de P(p) kaj Q(p) estas ne nulo (kio estas ke la punkto p estas ne sur unu el la kurboj).
  • Ip(x, y) = 1 se punkto p estas je (x, y), kio estas ke obleco de intersekco de du ortaj rektoj (paralelaj al la malsamaj koordinataj aksoj) estas 1.
  • Ip(P, Q·R) = Ip(P, Q) + Ip(P, R)
  • Ip(P + Q·R, Q) = Ip(P, Q) por ĉiu R en K[x, y]

Kvankam ĉi tiuj propraĵoj plene karakterizas intersekcan oblecon, en praktiko ĝi estas komprenata en kelkaj malsamaj vojoj.

Intersekca obleco povas esti komprenita kiel maksimuma kvanto de malsamaj intersekcoj kiuj rezultiĝas se la kurboj estas perturbitaj malmulte.

Ankoraŭ unu kompreno de intersekca obleco estas tra la dimensio de certa kvocienta spaco de la potencoseria ringo K[[x, y]]. Per ŝanĝo de variabloj se necesas, oni povas preni ke la punkto p estas (0, 0). Estu P(x, y) kaj Q(x, y) la polinomoj difinantaj la algebrajn kurbojn. Se la originalaj ekvacioj estas donita en homogena formo, ĉi tiuj povas esti ricevita per meto de z=1. Estu I=(P, Q) la idealo de K[[x, y]] generita per P kaj Q. La intersekca obleco estas la dimensio de K[[x, y]]\big/I kiel vektora spaco super K.

Ekzemplo[redakti | redakti fonton]

Konsideru la intersekcon de la abscisa akso kun parabolo

y = x2

Tiam

P = y
Q = y - x2

tiel

I_p(P, Q) = I_p(y, y - x^2) = I_p(y, - x^2) = I_p(y, x^2) = I_p(y, x) + I_p(y, x) = 1 + 1 = 2

Tial, la intersekca grado estas 2; ĝi estas ordinara tanĝanteco.