Teoremo de Hammersley–Clifford

La Teoremo de Hammersley–Clifford temas priprobabloteorio, statistiko kaj statistika mekaniko. Ĝi difinas la necesan kaj sufiĉan kondiĉojn tial, kial probabla distribuo povas reprezentiĝi kiel Markova reto. Ĝi estas la fundamenta teoremo pri hazarda kampo. La teoremo asertas, ke probablo distribuo, kiu havas strikte pozitivan mason aŭ denson, estas Markova al sendirekta grafeo G, se kaj nur se ĝi estas Gibsa. Tio estas, ĝia denso eblas faktoriĝi laŭ la klikoj de la grafeo.

La rilaton inter Markova kaj Gibsa reto unue studis Roland Dobrushin kaj Frank Spitzer sub kunteksto de statistika mekaniko. La teoremo nomiĝas memore al John Hammersley kaj Peter Clifford, kiuj pruvis la ekvivalenton en nepublikigita raporto en  1971. Pli simpla pruvo per inkluziveco-ekskluda principo donis sendepende Geoffrey Grimmett, Preston kaj Sherman en 1973, kun posta pruvo fare de Julian Besag en 1974.

Ideo pri pruvo

Estas triviala pruvi ke Gibsa reto havas ĉiujn Markovecojn. Ekzemple jen:

Dekstre montras Gibsan reton sur la grafeo kun formo $\Pr(A,B,C,D,E,F)\propto f_{1}(A,B,D)f_{2}(A,C,D)f_{3}(C,D,F)f_{4}(C,E,F)$. Se variablo $C$ kaj $D$ estas konstanta, do la malloka Markoveco bezonas ke $A,B\perp E,F|C,D$ (vidu kondiĉan sendependecon), ĉar $C,D$ iĝas muro inter $A,B$ kaj $E,F$.

Kun $C$ kaj $D$ konstantaj, $\Pr(A,B,E,F|C,D)\propto [f_{1}(A,B,D)f_{2}(A,C,D)]\cdot [f_{3}(C,D,F)f_{4}(C,E,F)]=g_{1}(A,B)g_{2}(E,F)$ kie $g_{1}(A,B)=f_{1}(A,B,D)f_{2}(A,C,D)$ kaj $g_{2}(E,F)=f_{3}(C,D,F)f_{4}(C,E,F)$. Tio implicas, ke $A,B\perp E,F|C,D$.

Por verigi ke ĉiu pozitiva probablodistribuo kun loka Markoveco estas Gibsa, oni unue pruvas jenan lemon, kiu ebligas kunigi malsamajn faktorigon:

Lemo 1

$U$ signu la aro de hazardaj variabloj koncernaj kaj $\Theta ,\Phi _{1},\Phi _{2},\dots ,\Phi _{n}\subseteq U$ kaj $\Psi _{1},\Psi _{2},\dots ,\Psi _{m}\subseteq U$ signu iujn arojn da variabloj (Ĉikuntekste, por aro da variablo $X$, $X$ ankaŭ signu iun valorigon al la variabloj en $X$.)

Se

$\Pr(U)=f(\Theta )\prod _{i=1}^{n}g_{i}(\Phi _{i})=\prod _{j=1}^{m}h_{j}(\Psi _{j})$

por funkcioj $f,g_{1},g_{2},\dots g_{n}$ kaj $h_{1},h_{2},\dots ,h_{m}$, do estas funkcioj $h'_{1},h'_{2},\dots ,h'_{m}$ kaj $g'_{1},g'_{2},\dots ,g'_{n}$tiaj, ke

$\Pr(U)={\bigg (}\prod _{j=1}^{m}h'_{j}(\Theta \cap \Psi _{j}){\bigg )}{\bigg (}\prod _{i=1}^{n}g'_{i}(\Phi _{i}){\bigg )}$

Alivorte,$\prod _{j=1}^{m}h_{j}(\Psi _{j})$ fariĝas plano por plu faktorigi $f(\Theta )$.

Lemo 1 ebligas kunigi du malsamajn faktorigojn de $\Pr(U)$. La loka Markoveco implicas ke por ĉiu hazarda variablo $x\in U$, estas faktoroj $f_{x}$ kaj $f_{-x}$ tiaj, ke

$\Pr(U)=f_{x}(x,\partial x)f_{-x}(U\setminus \{x\})$

kie $\partial x$ estas la najbaroj de $x$. Apliki lemon 1 refoje fine faktorigos $\Pr(U)$ en produto de kliko-potencialoj (vidu la dekstran bildon).

Literaturo

• Bilmes, Jeff (Spring 2006), Handout 2: Hammersley–Clifford, archived from the original on 2012-02-20, https://web.archive.org/web/20120220030059/http://ssli.ee.washington.edu/courses/ee512/handout2.pdf, retrieved 2017-03-21 , noto el kurso de Universitato de Vaŝingtonio.
• Grimmett, Geoffrey, Probability on Graphs, Chapter 7, http://www.statslab.cam.ac.uk/~grg/books/pgs.html 
• Langseth, Helge, The Hammersley–Clifford Theorem and its Impact on Modern Statistics, http://www.idi.ntnu.no/~helgel/thesis/forelesning.pdf 

Vidu ankaŭ

• Markova reto