Arĥimeda eco
En abstrakta algebro, la arkimeda propraĵo, estas propraĵo de iuj grupoj, korpoj kaj aliaj algebraj strukturoj.
Proksimume, ĝi estas la propraĵo de ne havo de malfinie grandaj aŭ malfinie malgrandaj (infinitezimaj) eroj. Ĉi tio povas esti farita precize en diversaj ĉirkaŭtekstoj, ekzemple, por korpoj kun absoluta valoro, kie la ordigita korpo de reelaj nombroj estas arkimeda, sed la korpo de p-adic nombroj kun la p-adic absoluta valoro estas nearkimeda.
Algebra strukturo en kiu ĉiuj du ne-nulaj eroj estas kompareblaj, en la senco ke neniu el ili estas infinitezimo kun respekto al la alia, estas nomata kiel arkimeda. Strukturo kiu havas paron de ne-nulaj eroj, unu el kiuj estas infinitezimo kun respekto al la alia, estas nomata kiel ne-arkimeda.
Difino
Estu x kaj y pozitivaj eroj de lineare ordigita grupo G. Tiam x estas infinitezimo kun respekto al y (aŭ ekvivalente, y estas malfinio kun respekto al x) se, por ĉiu natura nombro n, la produto (ripetita sumo) nx estas malpli granda ol y:
La grupo G estas arkimeda se estas ne ekzistas ĉi tia paro x, y en kiu x estas infinitezimo kun respekto al y.
Aldone, se K estas algebra strukturo kun unuo, ekzemple ringo, simila difino aplikas al K. Se x estas infinitezimo kun respekto al 1, tiam x estas infinitezima ero. Ankaŭ, se y estas malfinio kun respekto al 1, tiam y estas malfinia ero. La algebra strukturo K estas arkimeda se ĝi ne havas malfiniajn aŭ infinitezimajn erojn.
Por korpoj
Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Arkimeda korpo.En ordigita korpo estas ankaŭ jenaj propraĵoj:
- Se x estas infinitezimo, tiam 1/x estas malfinio, kaj ree. Pro tio por kontroli ĉu korpo estas nearkimeda sufiĉas kontroli nur ĉu ekzistas infinitezimaj eroj, aŭ kontroli ĉu ekzistas malfiniaj eroj.
- Se x estas infinitezimo kaj r estas racionala nombro, tiam rx estas ankaŭ infinitezimo. Tiel por, ajna donita ero c, la tri eroj c/2, c kaj 2c estas aŭ ĉiuj tri infinitezimoj aŭ ĉiu tri ne-infinitezimoj.
Arkimeda propraĵo de la reelaj nombroj
En la aksioma teorio de reelaj nombroj, la malesto de nenulaj infinitezimaj reelaj nombroj estas implicita per la suprema propraĵo kiel sekvas. Signifu per Z la aron konsistantan el ĉiuj pozitivaj infinitezimoj. Ĉi tiu aro estas barita desupre de 1. Nun alprenu per kontraŭdiro ke Z estas nemalplena. Tiam ĝi havas supremon (precizan supran randon) c, kiu estas ankaŭ pozitiva, tiel c/2 < c < 2c. Pro tio ke c estas supera baro de Z kaj 2c estas severe pli granda ol c, 2c devas esti severe pli granda ol ĉiu pozitiva infinitezimo. 2c ne povas mem esti infinitezimo, ĉar tiam 2c devus esti pli granda ol si. Ankaŭ pro tio ke c estas la plej malgranda supera baro de Z, c/2 devas esti infinitezimo. Sed 2c kaj c/2 ne povas havi malsamajn specoj per la rezulto pli supre, tiel estas kontraŭdiro. La konkludo sekvas ke Z estas malplena kaj ne ekzistas pozitivaj infinitezimaj reelaj nombroj.
Ekzemplo de ne-arkimeda ordigita korpo
Por ekzemplo de ordigita korpo kiu estas ne-arkimeda, prenu la korpon de racionalaj funkcioj kun reelaj koeficientoj. Racionala funkcio estas ĉiu funkcio kiu povas esti esprimita kiel unu polinomo dividita per alia polinomo. Por fari ordigitan korpon, necesas asigni ordon kongruan kun la adicio kaj multipliko. Estu f>g se kaj nur se f-g > 0, tiel necesas nur diri kiuj racionalaj funkcioj estas konsiderataj kiel pozitivaj. Skribu la racionalan funkcion en la formo de rilatumo de du polinomoj tiel ke la konduka koeficiento de la denominatoro estas pozitiva. Estu la funkcio konsiderta kiel pozitiva se la konduka koeficiento de la numeratoro estas pozitiva. Eblas kontroli ke ĉi tiu ordigo estas bone difinita kaj kongrua kun la adicio kaj multipliko. Per ĉi tiu difino, la racionala funkcio 1/x estas pozitiva sed malpli granda ol la racionala funkcio 1. Kaj, se n estas iu ajn natura nombro, tiam n(1/x) = n/x estas pozitiva sed ankoraŭ malpli granda ol 1. Pro tio, 1/x estas infinitezimo en ĉi tiu korpo.
Ĉi tiu ekzemplo povas esti ĝeneraligita al la aliaj koeficientoj. Se ekzemple konsideri racionalajn funkciojn kun racionalaj koeficientoj rezultas kalkulebla ne-arkimeda ordigita korpo.
Historio
La koncepto estas nomita post la antikva greka geometriisto kaj fizikisto Arkimedo de Sirakuso. Arkimedo diris ke por ĉiuj du rektaj segmentoj, kuŝigante la pli mallongan el ili multoble nur finian kvanton da fojoj ĉiam eblas krei segmenton pli longan de la dua. Se konsideri ke la longoj de la segmentoj estas pozitivaj reelaj nombroj, videblas ke ĉi tio estas la arkimeda propraĵo de reelaj nombroj.
Tamen, Arkimedo uzis infinitezimojn en heŭristikaj argumentoj, kvankam malkonsentis ke ĉi tiaj rezonadoj estas pretaj matematikaj pruvoj.
Ĉar Arkimedo donis aŭtorecon de la propraĵo al la Eudoxus de Cnidus ĝi estas ankaŭ sciata kiel la teoremo de Eudoxus aŭ la aksiomo de Eudoxus.
La arkimeda propraĵo aperas en libro V de Elementoj de Eŭklido kiel difino 4.
Eksteraj ligiloj
greke Schechter, Eric (1997). Handbook of Analysis and its Foundations - Gvidlibro de analitiko kaj ĝiaj fundamentoj. Academic Press. ISBN 0-12-622760-8.