Ebena ondo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Frontoj de ebena ondo en tri-dimensia spaco.

Ebena ondo estas ondo kun konstanta frekvenco. Ondaj frontoj de ebena ondo estas ebenaj frontoj, perpendikularaj al vektoro de faza rapido.

Tielaj ebenaj ondoj ne ekzistas en realo, ĉar ebena ondo komencigas en -\mathcal{1} kaj finigas en +\mathcal{1}, kaj tio estas nereale. Tamen, fina ebena ondo ekzistas kaj nomiĝas «kvazaŭebena». Se kvazaŭondo havas sufiĉan etendaĵon, do proksimume eblas opinii ĝin ebena.

Integro[redakti | redakti fonton]

Ekvacio de ajna ondo estas solvo de diferenciala ekvacio, nomiĝas «onda ekvacio». Onda ekvacio por funkcio A rezultas de la jena formulo:

 \Delta A(\vec{r},t) = \frac {1} {v^2} \, \frac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial t^2} \,
kie

Unu-dimensia kazo[redakti | redakti fonton]

Wave Sinusoidal Cosine wave sine Blue.svg
AC wave Positive direction.gif
Animacia movado de ebena ondo.

Ebena harmonia ondo rezultas je la jena ekvacio:

 A(x,t) = A_o \cos \left( k x - \omega t + \varphi_0 \right) \,
kie

Ankoraŭ ondo priskribiĝas de ekvacioj

  •  A = A_o \cos \left( 2 \pi \left( \cfrac {x} {\lambda} - \cfrac {t} {T} \right) + \varphi_0 \right) \,
kie
  •  A = A_o \cos \left( 2 \pi \left( \cfrac {x} {\lambda} - ft \right) + \varphi_0 \right) \,
где
  •  A = A_o \cos \left( \cfrac {2\pi} {\lambda} (x - vt) + \varphi_0 \right) \,
где

Mult-dimensia kazo[redakti | redakti fonton]

Ĝenerale, ekvacio de ebena ondo enskribiĝas kiel

 A ( \vec{r}, t ) = A_o \cos \left( (\vec{k},\vec{r}\,) - \omega t + \varphi_0 \right) \,
kie
kie

Komplekas formo[redakti | redakti fonton]

Skribiĝas pli alte ekvicion povas skribiĝi en kompleksa formo:

 A( x,t ) = A_o \, e^{ i \left( k x - \omega t +\varphi_0 \right) }.

kaj ĝenerale

 A( \vec{r},t ) = A_o \, e^{ i \left( (\vec{k},\vec{r}\,) - \omega t +\varphi_0 \right) }.

Ĝusteco tiun formulon simple provas, uzas Eŭleran formulon.

El kompleksa formo de harmonia funkcio sekvas nocio de kompleksan amplitudon, egala  \widehat{A} = A_o e^{i \varphi_0}.

Do  A( x,t ) = \widehat{A} \, e^{ i \left( (\vec{k},\vec{r}\,) - \omega t \right) }.

modulo de funkcio egalas amplitudon, kaj argumento — origina fazo  \varphi_0 de vibraroj.

Скорость волны[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Grupa rapido.
Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Faza rapido.

La grupa rapido v_g estas difinita per la ekvacio

 v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k} .

La faza rapido v_{\phi} estas difinita pre la ekvacio

 v_{\phi} = \frac {\omega} {k} .

Energio de elastan ebenan ondon[redakti | redakti fonton]

Se  A(x,t) = A_o \cos \left( \omega t - k x + \varphi_0 \right).

Apartiĝas en spaco malgranda volumento  \Delta V . En anjaj punktoj de tio volumento rapido  \cfrac {\partial A} {\partial t} kaj deformiĝo \cfrac {\partial A} {\partial x} eblas opinii konstantaj.

Do tio volumenteto havas kineta energio

 \Delta W_k = \cfrac {\rho} {2} \left( \cfrac {\partial A} {\partial t} \right)^2 \Delta V

kaj potenciala energio deformiĝon

 \Delta W_p = \cfrac {E} {2} \left( \cfrac {\partial A} {\partial x} \right)^2 \Delta V = \cfrac {\rho v^2} {2} \left( \cfrac {\partial A} {\partial x} \right)^2 \Delta V .

Totala energio egale

 W = \Delta W_k + \Delta W_p = \cfrac{\rho}{2} \bigg[ \left( \cfrac {\partial A} {\partial t} \right)^2 + v^2 \left( \cfrac{\partial A}{\partial {t}} \right)^2 \bigg] \Delta V .

Denso de energio egale

 \omega = \cfrac {W} {\Delta V} = \cfrac{\rho}{2} \bigg[ \left( \cfrac {\partial A} {\partial t} \right)^2 + v^2 \left( \cfrac {\partial A} {\partial {t}} \right)^2 \bigg] = \rho A^2 \omega^2 \sin^2 \left( \omega t - k x + \varphi_0 \right) .

Bibliografio[redakti | redakti fonton]

  • Савельев И.В. // Курс общей физики — Часть 2. Волны. Упругие волны. // М.: Наука, 1988. // vol. 2. // p. 274-315.

Rimarkoj[redakti | redakti fonton]