Homogenaj koordinatoj
En matematiko, homogenaj koordinatoj, permesas al afinaj transformoj esti facile prezentitaj per matrico. Ankaŭ ili faras kalkulojn eblaj en projekcia spaco samkiel karteziaj koordinatoj faras en eŭklida spaco. La homogenaj koordinatoj de punkto de projekcia spaco de dimensio n estas kutime skribita kiel (x : y : z : ... : w), (linio, vico) vektoro de longo n + 1, escepte (0 : 0 : 0 : ... : 0). Du aroj de koordinatoj, kiuj estas proporciaj signifas la saman punkton de projekcia spaco: por (ĉiu, iu) ne-nula skalaro c de la suba kampo K, (ĉ : cy : cz : ... : cw) signifas la saman punkton. Pro tio, ĉi tiu sistemo de koordinatoj povas esti eksplikita kiel sekvas: se la projekcia spaco estas konstruita el vektora spaco V de dimensio n + 1, prezenti koordinatojn en V per elektanta bazo, kaj uzi ĉi tiuj en P(V), la ekvivalento-klasoj de proporcia ne-nulaj vektoroj en V.
Prenante la ekzemplon de projekcia spaco de dimensio tri, tie estos esti homogenaj koordinatoj (x : y : z : w). La ebeno je malfinio estas kutime identigita kun la aro de punktoj kun w = 0. For de ĉi tiu ebeno ni povas uzi (x/w, y/w, z/w) kiel ordinaran Kartezian sistemon; pro tio la afina spaco komplementa al la ebeno je malfinio estas koordinatigita laŭ familiara maniero, kun bazo koresponda (1 : 0 : 0 : 1), (0 : 1 : 0 : 1), (0 : 0 : 1 : 1).
Se ni provas sekci la du (planoj, ebenoj)n difinitajn per ekvacioj x = w kaj x = 2w tiam ni klare derivos unua w = 0 kaj tiam x = 0. Tio diras, ke ni (tiu, ke, kiu) la komunaĵo estas enhavita en la ebeno je malfinio, kaj konsistas el ĉiuj punktoj kun koordinatoj (0 : y : z : 0). Ĝi estas linio, kaj fakte la linio (aniĝanta, aliganta, aliĝanta) (0 : 1 : 0 : 0) kaj (0 : 0 : 1 : 0). La linio estas donita per la ekvacio
kie μ estas (krustanta, skalanta) faktoro. La (krustanta, skalanta) faktoro povas esti (ĝustigita, adaptita, alĝustigita) al ununormigi la koordinatojn (0 : y : z : 0), per tio eliminanta unu de la du gradoj de libereco. La rezulto estas aro de punktoj kun nur unu grado de libereco, kiel estas atendita por linio.
Krampoj kontraŭ parantezoj[redakti | redakti fonton]
Konsideri projekcia 2-spaco: punktoj en la projekcia ebeno estas projekcioj de punktoj en 3-spaco ("3-D punktoj"). Lasu ke la notacio (skribmaniero)
temu pri unu de ĉi tiuj 3-D punktoj. Lasu ke
temu pri alia 3-D punkto. Tiam
Aliflanke, lasu ke al la notacio
![{\displaystyle [x:y:z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/824605c6ea4c4537ff9daf4ce86c26ef6a30f529)
signifi la projekcion de 3-D punkto (x : y : z) sur la projekcia ebeno. La punkto [x : y : z] povas esti konsiderata esti egala al ekvivalento-klaso de 3-D punktoj kiu apartenas la 3-D linio (trairanta, pasanta) tra la punktoj (x : y : z) kaj (0 : 0 : 0). Se
![{\displaystyle [u:v:w]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44630a82cd9e3411406f5dabe8331518d703eb0a)
estas alia projekcia punkto, tiam
![{\displaystyle [x:y:z]=[u:v:w]\leftrightarrow \exists \alpha (x=\alpha u\wedge y=\alpha v\wedge z=\alpha w).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e282ed0af90e1f03459f995bffbe2b1241a21aa)
Du 3-D punktoj estas ekvivalento se iliaj projekcioj sur la projekcia ebeno estas egala:
Tial,
![{\displaystyle (x:y:z)\equiv (u:v:w)\leftrightarrow [x:y:z]=[u:v:w].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/930092765baffd1ee19ebc6dbcad0c0bf04441d1)
Aldono de homogenaj koordinatoj[redakti | redakti fonton]
Ĉi tiu distingo inter krampoj kaj parantezoj signifas, ke aldono de punktoj en homogenaj koordinatoj estos difinita en du malsamaj manieroj, depende de tio, ĉu la koordinatoj estas enmetitaj kun krampoj aŭ parantezoj.
Konsideru denove la okazon de la projekcia ebeno. Adicio de du 3-D punktoj estas la sama kiel por ordinaraj koordinatoj:
Aliflanke, adicio de paro de projekciitaj punktoj povas esti difinita tiel:
![{\displaystyle [a:b:c]+[x:y:z]=[za+xc:zb+yc:cz].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e667bfe120d5c75bbdf442b55341830f5589f9)
Por projekcia 3-spaco, similaj konsideroj apliki. Aldono de paro de neprojekciitaj punktoj estas
ĉar adicio de paro de projekciitaj punktoj estas
![{\displaystyle [a:b:c:d]+[x:y:z:w]=[wa+dx:wb+dy:wc+dz:dw].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/549fbc2a40588222c372e7395ee27fc0c57dcf0a)
Skalara multipliko de homogenaj koordinatoj[redakti | redakti fonton]
Estas du specoj de skalara multipliko: unu por neprojekciitaj punktoj kaj alia unu por projekciitaj punktoj.
Konsideru skalaron a kaj neprojekciitan 3-D punkto (x : y : z). Tiam
Rimarku ke
eĉ kvankam
Nun konsideru la skalaron a kaj projekciitan punkto [x : y : z]. Tiam
![{\displaystyle a[x:y:z]=[ax:ay:z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3685e514f40b27520b841c93201174c9e64a5ed)
tiel ke
![{\displaystyle [x:y:z]\neq a[x:y:z].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa105fbf3b935b1e4a4f582dd4257e28219f4fa)
Rimarku tamen specialan okazon - se , la pli supre formulo donas [0:0:0] kiel rezulto, kiu ne prezentas iun punkto. Ja estas nedefinita, tiel ĉi tio ne estas en la difino.
Linearaj kombinaĵoj de punktoj priskribis kun homogenaj koordinatoj[redakti | redakti fonton]
Estu tie esti paro de punktoj A kaj B en projekcia 3-spaco, kies homogenaj koordinatoj estas
![{\displaystyle \mathbf {A} :[X_{A}:Y_{A}:Z_{A}:W_{A}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e18b66dafcf79fb822fd166746a624f78855d6f)
![{\displaystyle \mathbf {B} :[X_{B}:Y_{B}:Z_{B}:W_{B}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93a515e128c066674a0fcd7b7413d8f07ff50aa2)
Estas dezirite trovi ilian linearan kombinaĵon kie a kaj b estas koeficientoj kiu povas esti (ĝustigita, adaptita, alĝustigita) laŭvole, kun la kondiĉo, ke , aŭ (pli ĝuste), ke , eviti degeneri punktoj. Estas tri kazoj por konsideri:
- ambaŭ punktoj aparteni afina 3-spaco,
- ambaŭ punktoj aparteni la ebeno je malfinio,
- unu punkto estas afina kaj la alia unu estas je malfinio.
La koordinatoj X, Y, kaj Z povas esti konsiderataj kiel numeratoroj, kaj la W koordinato povas esti konsiderata kiel denominatoro. Por adicii homogenajn koordinatojn necesas ke la denominatoro estu la sama. Alie necesas reskaligi la koordinatojn ĝis ĉiuj denominatoroj estas la samaj. Homogenaj koordinatoj estas ekvivalento supren al ĉiu uniformo reskaligo.
Ambaŭ punktoj estas afinaj[redakti | redakti fonton]
Se ambaŭ punktoj estas en afina 3-spaco (ne en malfinio), tiam kaj . Ilia lineara kombinaĵo estas
![{\displaystyle a[X_{A}:Y_{A}:Z_{A}:W_{A}]+b[X_{B}:Y_{B}:Z_{B}:W_{B}]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d66ac2c1e7c9b16bd617cc5fa867dfe5bf693d28)
![{\displaystyle =[aX_{A}:aY_{A}:aZ_{A}:W_{A}]+[bX_{B}:bY_{B}:bZ_{B}:W_{B}]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8a05eb7e7c1c953d4fbe96b77792c0385ac733b)
![{\displaystyle =\left[a{X_{A} \over W_{A}}:a{Y_{A} \over W_{A}}:a{Z_{A} \over W_{A}}:1\right]+\left[b{X_{B} \over W_{B}}:b{Y_{B} \over W_{B}}:b{Z_{B} \over W_{B}}:1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022ac5298446f52c559a2890259145c19601c21f)
![{\displaystyle =\left[a{X_{A} \over W_{A}}+b{X_{B} \over W_{B}}:a{Y_{A} \over W_{A}}+b{Y_{B} \over W_{B}}:a{Z_{A} \over W_{A}}+b{Z_{B} \over W_{B}}:1\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/618878c0570fc184b3f0feec4a091aa09f8d9ee2)
Ambaŭ punktoj estas je malfinio[redakti | redakti fonton]
Se ambaŭ punktoj estas sur la ebeno je malfinio, tiam WA = 0 kaj WB = 0. Ilia lineara kombinaĵo estas
![{\displaystyle a[X_{A}:Y_{A}:Z_{A}:W_{A}]+b[X_{B}:Y_{B}:Z_{B}:W_{B}]=[aX_{A}:aY_{A}:aZ_{A}:0]+[bX_{B}:bY_{B}:bZ_{B}:0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1352a3786d643128bf0692f501cfb74df8b2a2b0)
![{\displaystyle =[aX_{A}+bX_{B}:aY_{A}+bY_{B}:aZ_{A}+bZ_{B}:0].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52c0c676317081c663f9e9f8a7fdcce5a7615ae3)
Unu punkto estas afina kaj la alia je malfinio[redakti | redakti fonton]
Estu la unua punkto esti afina, tiel ke . Tiam
![{\displaystyle a[X_{A}:Y_{A}:Z_{A}:W_{A}]+b[X_{B}:Y_{B}:Z_{B}:0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f11809c27455108e7671cd01362c17f0567ff04)
![{\displaystyle =a[0:0:0:0]+b[X_{B}:Y_{B}:Z_{B}:0],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47c3df7ec02fcd2ff6499a62442e856b97dc369c)
![{\displaystyle =[bX_{B}:bY_{B}:bZ_{B}:0],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcea4b89fd1bf4e605dec0fddfbac9dce6531309)
kio signifas, ke la punkto je malfinio estas domina.
Ĝenerala okazo[redakti | redakti fonton]
La kalkulo povas ankaŭ esti portita super sen distingi inter okazoj simile al la aldono de du punktoj:
![{\displaystyle a[X_{A}:Y_{A}:Z_{A}:W_{A}]+b[X_{B}:Y_{B}:Z_{B}:W_{B}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c68216b15e94a789b4a0e5b5dff712d28c313adf)
![{\displaystyle =[aW_{B}X_{A}+bW_{A}X_{B}:aW_{B}Y_{A}+bW_{A}Y_{B}:aW_{B}Z_{A}+bW_{A}Z_{B}:W_{A}W_{B}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/743778d52ee086f95269b66ae1a159237190b985)
Startanta de ĉi tio, oni povas re-ricevi la formulojn por okazoj pli supre.
Aparte, apliko de ĉi tiu formulo en la degeneraj kazoj donas ke sumo de kun io alia produktas rezulton denove.
![{\displaystyle [0:0:0:0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07eb3af5b10926dccd0a75db8ad9a4964e9029a5)