Ekvivalentrilato

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, ekvivalentrilato estas duargumenta rilato inter du eroj de araj kiuj grupigas ilin kune kiel ekvivalentaj en iu senco. Estu a, b, kaj c esti ajnaj eroj de iu aro X. Tiam "a ~ b" aŭ "a ≡ b" signifas (tiu, ke, kiu) a estas ekvivalento al b.

Ekvivalentrilato estas duargumenta rilato kiu estas:

La ekvivalentklaso de ero a sub rilato "~", skribata kiel [a] aŭ pli precize [a]~, estas la subaro de X kies eroj b estas tiaj ke a ~ b.

Ekzemploj de ekvivalentrilatoj[redakti | redakti fonton]

Ekzemploj de rilatoj kiuj ne estas ne ekvivalentrilatoj[redakti | redakti fonton]

  • La rilato "≥" inter reelaj nombroj estas refleksiva kaj transitiva, sed ne simetria, a ≥ b ne implicas ke b ≥ a.
  • La rilato "estas proksimume egala al" inter reelaj nombroj, ekzemple difinita kiel a ~ b se kaj nur se |a-b|<C por donita konstanto C, ne estas ekvivalentrilato, ĉar kvankam ĝi estas refleksiva kaj simetria, ĝi estas ne transitiva pro tio ke multaj malgranda ŝanĝas povas akumuli kaj kune esti tro grandaj.
  • La rilato "havas komunan faktoron pli grandan ol 1 kun" inter entjeroj pli grandaj ol 1, estas refleksiva kaj simetria, sed ne transitiva. Ekzemple 2 kaj 6 havas komunan faktoron pli granda ol 1, kaj 6 kaj 3 havas komunan faktoron pli granda ol 1, sed 2 kaj 3 ne havas komunan faktoron pli granda ol 1).
  • "Estas paralela al" sur la aro de subspacoj de afina spaco estas refleksiva kaj simetria, sed ne transitiva. Se ebeno a estas paralela al rekto b kaj rekto b estas paralela al ebeno c, tiam ne nepre ebeno a estas paralela al ebeno c.
  • La malplena rilato R sur ne-malplena aro X (kio estas aRb estas neniam vera) estas simetria kaj transitiva, sed ne refleksiva. Se tamen X estas ankaŭ malplena tiam R estas refleksiva.
  • Ekvivalentrilato sur aro ne estas ekvivalentrilato sur pozitiva superaro de la, ĉar tiam mankas reflekteco je aldonitaj eroj. Ekzemple rilato R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)} estas ekvivalentrilato sur aro {1, 2, 3} sed ne estas ekvivalentrilato sur aro {1,2,3,4} ĉar ĝi ne veras por (4, 4), kio devus esti ĉar devus esti reflekteco por ero 4.

Aliaj rilatoj[redakti | redakti fonton]

Parta ekvivalentrilato estas transitiva kaj simetria, sed ne refleksiva. Transitiveco kaj simetrieco implicas refleksivecon se kaj nur se por ĉiu ero a de X ekzistas (eble la alia) ero b de X tia ke a ~ b. Tiam por la simetrieco veras ankaŭ b ~ a, kaj pro la transitiveco el a ~ b kaj b ~ a sekvas ke a ~ a.

Generado de ekvivalentrilatoj[redakti | redakti fonton]

  • Por ĉiu donita aro X, estas ekvivalentrilato super la aro de ĉiuj eblaj funkcioj X→X. Du ĉi tiaj funkcioj estas ekvivalentaj se iliaj respektivaj aroj de fiksaj punktoj havas la samajn kardinalojn, kiuj estas la kvantoj de cikloj de longo 1 en la permutoj.
  • La komunaĵo de ĉiu kolekto de ekvivalentrilatoj super X (por faro de la operacio komunaĵo, la ekvivalentrilatoj estas konsiderataj kiel subaroj de X × X) estas ankaŭ ekvivalentrilato. Ĉi tiu rendimenta oportuna vojo de generante ekvivalentrilato: donita (ĉiu, iu) duargumenta rilato R sur X, la ekvivalentrilato generita per R estas la plej malgranda ekvivalentrilato enhavanta R. Konkrete, R generas la ekvivalentrilaton ~ tiel ke a ~ b se kaj nur se ekzistas eroj
x1, x2, ..., xn en X tiaj ke
a = x1, b = xn kaj
xi R xi+1xi+1 R xi por ĉiu i = 1, ..., (n-1).

Ekvivalentrilato generita per ĉi tiu maniero povas esti bagatela. Ekzemple, la ekvivalentrilato generita surbaze de "pli malgranda ol" sur reelaj nombroj donas ekvivalentecon de ĉiuj nombroj, a ~ b por ĉuj a kaj b.

Uzoj[redakti | redakti fonton]

Ekvivalentrilato povas konstrui novan topologian spacon per kungluado de partoj de la fonta spaco.

Ekzemple estu X unuobla kartezia kvadrato, kartezia produto [0,1] × [0,1], kaj estu ~ ekvivalentrilato sur X taŭge difinita. Tiam la kvocienta spaco X/~ estas la nova spaco. La plej konataj ekzemploj estas:

Ekvivalentrilato Rezultanta spaco
Por ĉiu a en [0,1], (a, 0) ~ (a, 1) Cilindra surfaco
Por ĉiu a en [0,1], (a, 0) ~ (1-a, 1) Rubando de Möbius
Por ĉiuj a, b en [0,1], (a, 0) ~ (a, 1) kaj (0, b) ~ (1, b) Toro
Por ĉiuj a, b en [0,1], (a, 0) ~ (1-a, 1) kaj (0, b) ~ (1, b) Botelo de Klein
Por ĉiuj a, b en [0,1], (a, 0) ~ (1-a, 1) kaj (0, b) ~ (1, 1-b) Reela projekcia ebeno

Reela projekcia ebeno povas rezultiĝi ankaŭ surbaze de sfero se ekvivalentigi ĉiuj du diametre kontraŭajn ĝiajn punktojn.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]

  • [1] R. Brown, Topologio kaj grupoidoj Booksurge LLC, 2006. ISBN 1419627228.
  • [2] P.J. Higgins, 1971. Kategorioj kaj grupoidoj, van Nostrand, elŝutebla kiel TAC Reprint, 2005.
  • [3] Bogomolny, A., Ekvivalenta Interrilato je tranĉi-la-nodon.