Koŝia vico

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En analitiko, koŝia vico, nomita laŭ Augustin Koŝio, estas vico kies eroj iĝas proksimaj kiam la plu kaj plu sekvaj eroj de la vico estas konsiderataj. Alivorte, per preno de finia numero de eroj de la starto de la vico oni povas fari la distancon inter ĉiu paro da ceteraj eroj ajne malgranda.

Koŝiaj vicoj postulas la nocion de distanco tiel ili povas nur esti difinitaj en metrika spaco. Ĝeneraligoj al pli abstraktaj uniformaj spacoj ekzistas en la formo de koŝia filtrilo kaj koŝia reto.

Ili estas interesaj ĉar en plena spaco, ĉiuj tiaj vicoj konverĝas al limigo, kaj oni povas provi la koŝiecon sen scio de la valoro de la limigo (se ĝi ekzistas), en kontrasto al la difino de konverĝo.

Koŝia vico de reelaj nombroj[redakti | redakti fonton]

Vico

x_1, x_2, x_3, \ldots

de reelaj nombroj estas koŝia, se por ĉiu pozitiva reela nombro r > 0 estas pozitiva entjero N tia ke por ĉiuj entjeroj m,n tiaj ke m > N, n > N:

|x_m - x_n| < r,

kie la vertikalaj strekoj estas la absoluta valoro.

Koŝia vico en metrika spaco[redakti | redakti fonton]

Laŭ la sama maniero oni povas difini koŝiajn vicojn de racionalaj nombroj kaj kompleksaj nombroj kaj en ĉiu metrika spaco; tiam |x_m - x_n| estas anstataŭigita per la distanco d(x_m, x_n) inter x_m kaj x_n.

Formale por donita metrika spaco (M, d), vico

x_1, x_2, x_3, \ldots

estas koŝia, se por ĉiu pozitiva reela nombro r > 0 estas pozitiva entjero N tia ke por ĉiuj entjeroj m,n tiaj ke m > N, n > N la distanco

d(x_m, x_n)

estas malpli granda ol r. Malglate parolante, la eroj de la vico estas pli kaj pli proksimaj kune kvazaŭ la vico devi havi limigon en M. Tamen, la limigo povas ne ekzisti.

Pleneco[redakti | redakti fonton]

Metrika spaco X en kiu ĉiu koŝia vico havas limigon en X estas nomata kiel plena spaco.

Ekzemplo: reelaj nombroj[redakti | redakti fonton]

La spaco de reelaj nombroj estas plena, kaj la norma konstruado de la reelaj nombroj engaĝas koŝiajn vicojn de racionalaj nombroj.

Kontraŭekzemplo: racionalaj nombroj[redakti | redakti fonton]

La racionalaj nombroj Q estas ne plenaj (por la kutima distanco): Estas vicoj de racionalaj nombroj kiu konverĝi (en R) al neracionalaj nombroj; ĉi tiuj estas koŝiaj vicoj ne havantaj limigon en Q.

Ekzemple:

Propraĵoj[redakti | redakti fonton]

Ĉiu konverĝa vico estas koŝia vico. Ĉiu koŝia vico estas barita. Se f \colon M \rightarrow N estas unuforme kontinua mapo inter la metrikaj spacoj M kaj N kaj (xn) estas koŝia vico en M, tiam (f(x_n)) estas koŝia vico en N. Se (x_n) kaj (y_n) estas du koŝiaj vicoj en la spaco de racionalaj reelaj aŭ kompleksaj nombroj, tiam la vicoj de sumoj (x_n + y_n) kaj produtoj (x_n y_n) estas koŝiaj vicoj.