Analitiko

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Analitiko, matematika analizo aŭ simple analizo (el la greka: ανάλυσις análysis, solvado, greke: ἀναλύειν analýein, solvi) estas branĉo de matematiko, kiu temas pri reelaj kaj kompleksaj nombroj kaj iliaj funkcioj. Ĝi komenciĝis per la rigorigo de la infinitezima kalkulo kaj studas konceptojn kiel ekzemple kontinuecon, derivaĵojn kaj integralojn.

Historio[redakti | redakti fonton]

En la antikva epoko kaj en la mezepoko grekaj kaj hindaj matematikistoj interesiĝis pri infinitezima kalkulo kaj atingis promesplenajn sed fragmentajn rezultojn. Pro historiaj kialoj liaj tujaj posteuloj ne povis uzi tiujn rezultojn kaj daŭrigi la malkovron.

Moderna analitiko estis fondita en la 17-a jarcento per infinitezima kalkulo fare de Isaac Newton kaj Gottfried Wilhelm Leibniz. En la 17-a jarcento la temoj de analitiko, kiel infinitezima kalkulado, diferencialaj ekvacioj, la analitiko de Fourier, kaj tiel plu evoluiĝis ĉefe el praktikaj laboroj. Teknikoj de infinitezima kalkulo etis uzataj sukcese por alproksimiĝi problemojn.

Dum la tuta 18-a jarcento la difino de funkcioj estis debata temo inter matematikistoj. En la 19-a jarcento Cauchy estis la unua, kiu donis logikan fondaĵon al infinitezima kalkulado enkondukinte la koncepton de la koŝia vico. Li komencis ankaŭ la formalan teorion de kompleksa analitiko. Poisson, Liouville, Fourier kaj aliaj studis ekvaciojn kaj harmonian analitikon.

Meze de la 19-a jarento Riemann enkondukis sian teorion pri integrado, la integralon de Riemann. Dum la tria triono de la 19-a jarcento, analitiko aritmetikiĝas fare de Karl Weierstrass, kiu opiniis ke geometria rezonado estis misgvida. Li enkondukis ankaŭ la difinon de ε-δ de limeso. Sekve matematikistoj ekzorgis pri la fakto, ke ili supozis senpruve la ekziston de kontinua vico de realaj nombroj.

Konceptoj de analitiko[redakti | redakti fonton]

Aroteorio[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Aroteorio.

Funkcioj[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Funkcio (matematiko).

Limeso[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Limeso.

Serio[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Serio (matematiko).

Derivaĵo[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Derivaĵo (matematiko).

Integralo[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Integralo.

Serio de Taylor[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Serio de Taylor.

Subfakoj de analitiko[redakti | redakti fonton]

Analitiko konsistas krom el la diferenciala kaj la integrala kalkuloj el aliaj subfakoj. Inter tiuj estas la teorio pri kutimaj kaj partaj diferencialaj ekvacioj, variada kalkulo, vektora kalkulo, mezura analitiko kaj funkcionala kalkulo.

Infinitezima kalkulo[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Infinitezima kalkulo.

Diferenciala kalkulo[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Diferenciala kalkulo.

Ĉe lineara funkcio, kiel ekzemple rekto

g(x) = mx + c

estas m la inklino kaj c la y-aksa sekcio aŭ ordinata sekkcio de la rekto. Kiam estas nur du punktoj (x_0, y_0) kaj (x_1, y_1) sur rekto, tiam eblas kalkuli la inklinon per

m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}.

Ĉe ne-linearaj funkcioj, kiel ekzemple f(x) = x^2 ne eblas tiel kalkuli la inklinon, ĉar ili priskribas kurbiĝojn, kiuj do ne estas rektoj. Tamen eblas meti en unu punkton (x_0, f(x_0)) tanĝanton, kiu denove estas rekto. La problemo estas nun kalkuli la inklinon de tia tanĝanto en unu loko x_0. Se oni elektas lokon x_1 tute proksiman al x_0 kaj metas rekton tra la punktoj (x_0, f(x_0)) kaj (x_1, f(x_1)), tiam la inklino de tiu sekanto estas la inklino de la tanĝanto. La inklino de la sekanto estas (vidu supre)

m = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}.

Tiun kvocienton oni nomas diferenciala kvociento aŭ meza modifa indico. Kiam oni alproksimigas la lokon x_1 pli kaj pli al x_0, tiam per la diferenciala kvociento troveblas la inklino de la tanĝanto. Do:

f'(x_0) = \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

kio estas la diferenciala kvociento de f en x_0. La esprimo \lim_{x\rightarrow x_0} signifas, ke x alproksimiĝas pli kaj pli al x_0, tio estas, ke la distanco inter x kaj x_0 iĝas pli kaj pli malgranda. Eblas diri ankaŭ, ke: „x alproksimiĝas x_0“. La indiko \lim signifas la limon.

f^\prime (x_0) estas la limo de la diferenciala kvociento.

Ekzistas ankaŭ kazoj, kie tiu limo ne ekzistas. Tial oni enkondukis la terminon de diferencialeblo. Funkcio f estas diferencialebla en la loko x_0, se ekzistas la limo \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.

Integrala kalkulo[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Integrala kalkulo.

Integrala kalkulo temas pri la kalkulo de areoj sub funkcigrafoj. Tian areon oni povas alproksimiĝi pere de sumoj de partaj areoj kaj atingas ĉe la limvaloro la integralon, por klaso de funkcioj, la tiel nomataj integreblaj funkcioj, kiu inkluas la kontinuajn funkciojn. En tiu klaso, difino de integralo estas

\int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x =  \lim_{n \to \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{i=0}^{n-1} f\left(a+i \frac{b-a}{n}\right).

Harmona analitiko[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Harmona analitiko.

Funkcia analitiko[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Funkcia analitiko.

Variada kalkulo[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Variada kalkulo.

Mezurteorio[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Mezuro (matematiko).

Kompleksa analitiko[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Kompleksa analitiko.

Nenorma analitiko[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Nenorma analitiko.

Nombra analitiko[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Nombra analitiko.

Analitika teorio de nombroj[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Analitika teorio de nombroj.

Plurdimensia analitiko[redakti | redakti fonton]

Ekzemplo de plurdimensia funkcio: f(x,y) = abs(x)^y

Multaj lernolibroj distingas analitikon unudimensia kaj analitikon plurdimensian. Tiu distingo ne rilatas al fundamentaj konceptoj, tamen obliĝas la matematika multeco kiam temas pri pluraj dimensioj. La plurdimensia analitiko observas funkciojn \textstyle f : D \subseteq \R^m \to \R^n de pluraj realaj variabloj, bildigitaj ofte kiel vektoron-opo.

La terminoj de normigita spaco, de limvaloro de vico, de kontinua funkcio kaj de limvaloroj analoge ĝeneraligeblas en pluraj dimensioj.

Gravaj terminoj el la plurdimensia diferenciala kalkulado estas la direktoderivaĵo kaj la parta derivaĵo, kiuj estas derivaĵoj en variablo aŭ direkto. La teoremo de Schwarz certigas, kiam partaj aŭ direktoderivaĵoj de diversaj direktoj interŝanĝeblas. Krome gravas la termino de totala derivaĵo. Ĝi estas interpretebla kiel loka adapto de lineara bildigo al kurbiĝo de plurdimensia funkcio kaj estas la plurdimensia analogaĵo de unudimensia derivaĵo. La teoremo de implicitaj funkcioj pri la loka solvo de implicitaj ekvacioj estas grava teoremo de la plurdimensia analitiko kaj bazo de la diferenciala geometrio.

En la plurdimensia analitiko ekzistas diversaj integralaj terminoj kiel la kurba integralo, la surfaca integralo kaj la spaca integralo.

Bibliografio[redakti | redakti fonton]

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]