Kurbo

El Vikipedio

Nuna versio (nereviziita)

Kurbo - matematika termino, unu el fundamentaj terminoj de matematikaj disciplinoj kiel geometrio, diferenciala geometrio, topologio. La termino estas uzata en ĉiutaga lingvo.

Linio (de lat. Linea - lina fadeno) estas unu el primaraj nocioj en geometrio. Difini ĝin estas nefacile kaj diversaj branĉoj traktas malsame, ekzemple:

[redakti] Intuiciaj postuloj

Malgraŭ intuicia facilo, termo estas tre malfacila por preciza difini. Ĝustan difinon oni povas esti "laŭvola linio" sur ebeno aŭ en 3D spaco, ankaŭ rekto, kiu povas diverĝi kaj interrompi.

(1) Linio sin prezentas unudimensian kontinuan aron da punktoj;

(2) Linio estas trajektorio de moviĝanta punkto;

(3) Linio estas bordo de la parto de surfaco.

[redakti] Difino

Kompakta kurbo estas dukto (kontinuumo) de dimensio 1, alivorte kontinuumo en kiu por ĉiu ĝia punkto, kaj laŭvola ĉirkaŭaĵo de ĉi tiu punkto ekzistas ia ĉirkaŭaĵo de punkto, kiu entenas en lastan, kiu rando ne havas kontinuumon, kiu konsistas el ne pli ol unu punkto (ĉiaj punktoj havas laŭvolan ĉirkaŭaĵon kun 0-dimensia rando).

[redakti] Pli fruaj nocioj de kurbo

Super difino estas el 20. jaroj de XX jarcento, tamen kurbo provis difini jam el antikveco:

Komentantoj de Euklideso difinis ĝin kiel "longo sen larĝo" aŭ "redukta ebeno"

Sed ĉi tiuj difinoj ne estas difinoj en matematika senco.

Kartezjusz difinis kurbon kiel aro de punktoj, kiuj verigas ekvacion. Difino ne entenas ĉiojn eblecojn.
Camille Jordan en XIX-a jarcento difinis kurbo kiel aro de punktoj $\left(\varphi(t), \psi(t)\right)$ , kiam $\varphi$ kaj $ψ$ estas kontinua funkcio, kaj $t$ estas parametro el intervalo de reelaj nombroj.

Alinome kurbo de Jordan estas bildo de intervalo (ekvivalente: segmento) en kontinua bildigo. Bedaŭrinde, ĉi tiu difino estas tro entenanta. En 1890 jaro Giuseppe Peano pruvis, ke laŭ ĉi tiu difino kvadrato kun enhavo estas ankaŭ kurbo (kurbo de Peano).

Sekva difino difinas kurbo kiel kunaĵo de fina kvanto de arkoj, kiam nenia du arkoj ne havas kunajn punktojn krom siaj finoj. Sed ĉi tiu difino ne entenas kelkajn eblecojn. ekz:

$\left\{(x, y): y = \sin~\tfrac{2\pi}{x}, 0 < x \le 1\right\}$ kun segmento $\left\{(x, y): x = 0, -1 \le y \le 1\right\}$ .
Georg Cantor en fino de XIX-a jarcento anoncis difino: ebena kurbo (en 2D spaco) estas tia kontinuumo en ebeno, ke ne entenas ia ajn cirklojn kun pozitiva radiuso.
En XX-a jarcento rusia matematikisto Paweł Urysohn difinis kurbo tiel kiel komenco de artikolo.

En 2D spaco estas ekvivalenta al Cantora difino.

[redakti] Generoj de kurboj

Oni povas difini kelkajn diferencajn generoj de kurboj kiam oni aldonas al difino de Jordan aldonatajn kondiĉojn al funkcioj $\varphi$ kaj $ψ$ . ekzemple:

[redakti] Iuj kurboj

En elementa geometrio oni esploras rektan linion aŭ rekton, detranĉojn de rekto, rompitan linion, kurban linion aŭ kurbon. Ĉiu speco de linio estas determinita per speciala maniero, ekz. "Cirklo estas aro de tiuj punktoj, kiuj egale distancas de la donita punkto O". Oni nomas la punkton O - centro de la cirklo, kaj la distancon R - radiuso de la cirklo.

Linio povas esti prezentita per parametroj. Ekz. se enkonduki ortajn koordinatojn (x, y) sur ebeno, oni povas doni radiuson de la cirklo R kun centro en O, per sekvajn ekvacioj: x=R · cos t, y=R · sin t, kiam parametro t forkuras intervalon 0≤t≤2p, tiam la punkto (x, y) elskribas la cirklon.

Kaj ĝenerale oni prezentas linion sur la ebeno per parametra ekvacio x=φ(t) kaj y=ψ(t), kie φ(t), ψ(t) estas arbitraj funkcioj, kontinuaj sur iu finia aŭ nefinia intervalo D de la nombra akso t. Por ĉiu valoro de la parametro el intervalo D, la ekvaciaro kompareblas al la punkto M, kies koordinatojn oni povas difini per la nomitaj ekvacioj. Analogie ĝeneraligas ĉi tiun regulon por 3-dimensiaj kaj plurdimensiaj spacoj.

En analiza geometrio oni prezentas linion per algebraj funkcioj, t.e. per plurtermoj kun n≥1 gradoj. Depende de la gradoj oni distingas jenajn liniojn: