Derivaĵo (matematiko)

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Matematikaj funkcioj
Fonto-aro, Celo-aro, Bildo, Kontraŭcelo-aro
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζηW de Lambertde Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecoenĵetecosurĵetecoensurĵeteco
kontinuecoderivaĵecoinegralebleco
Tanĝanta linio ĉe punkto. Por kalkuli la derivaĵon de punto al kurbo oni konverĝas la inkrementon de la inkrementa rilatumo al 0. Jen grafike kion signifas: la grizaj linioj estas la simulo de la konverĝo.

Derivaĵo estas unu el la bazaj konceptoj de analitiko kaj infinitezima kalkulo, kune kun la integralo. La derivaĵo de funkcio ĉe iu ajn punkto estas la angula koeficiento de la grafeo de la funkcio ĉe tiu punkto.

Difino kaj simbolaroj[redakti | redakti fonton]

Tanĝanta linio al kurbo. La angula koeficiento de tia linio estas la derivaĵo de la funkcio ĉe la punkto.

En analitiko la derivaĵo de reala funkcio de reala variablo f(x)\quad en la punkto x_0\quad estas difinita kiel la limeso de la inkrementa rilatumo konverĝanta al 0 de h, se ĝi ekzistas kaj estas finia.

Pliprecize, funkcio f(x)\quad difinita en ĉirkaŭaĵo x_0\quad estas derivebla en la punkto x_0\quad se ekzistas kaj estas finia la limeso:

{\mathop {\lim_{h \to 0}} {{f\left( {x_0 + h} \right) - f\left( x_0 \right)} \over h}}

La valoro de ĉi tiu limeso nomiĝas derivaĵo de la funkcio en la punkto x_0\quad. Se funkcio f(x)\quad estas derivebla en ĉiu punkto de la intervalo (a,b)\quad, tiam oni diras, ke la funkcio estas derivebla en (a,b)\quad.

La derivaĵo en la punkto x_0\quad estas indikita per unu el la sekvaj simbolaroj:

f ^{\prime} (x_0).
\operatorname D \left[{f}({x_0})\right].
\frac {\mathrm d f(x_0)}{\mathrm d x}.
  • Historie la unua simbolaro estas ankoraŭ uzata en fiziko:
\left(\frac {\mathrm d f}{\mathrm d x} \right)_{(x_0)}.
\dot f(t_o).

Maldekstra kaj dekstra derivaĵo[redakti | redakti fonton]

Nomiĝas maldekstra derivaĵo de f en x0:

f'_-(x_0) = \lim_{h \to 0^-}{{f(x_0+h)-f(x_0)}\over{h}}

Nomiĝas dekstra derivaĵo de f en x0:

f'_+(x_0) = \lim_{h \to 0^+}{{f(x_0+h)-f(x_0)}\over{h}}

Funkcio estas derivebla en x_0\quad, se kaj nur se ekzistas la maldekstra kaj dekstra derivaĵoj, kiuj estas egalaj.

Teoremoj[redakti | redakti fonton]

Teoremo de Fermat[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Teoremo de Fermat pri kritaj punktoj.

Estu:

tiam la derivaĵo de la funkcio en x_0\quad estas nula, tio estas f'(x_0) = 0\quad.

Teoremo de Rolle[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Teoremo de Rolle.

Estu f(x)\quad kontinua funkcio en [a,b]\quad kaj derivebla en (a,b)\quad. Se f(a) = f(b)\quad, tiam ekzistas almenaŭ unu punkto x_0\quad en la intervalo (a,b)\quad, kies derivaĵo nuliĝas.

Teoremo de Lagrange[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Teoremo de Lagrange.

Estu f(x)\quad kontinua funkcio en [a,b]\quad kaj derivebla en (a,b)\quad. Ekzistas almenaŭ unu punkto x_0\quad en la intervalo (a,b)\quad, kies derivaĵo egalas al \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

Teoremo de Cauchy[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Teoremo de Cauchy.

Estu f(x)\quad kaj g(x)\quad kontinuaj funkcioj en [a,b]\quad kaj deriveblaj en (a,b)\quad kaj g'(x) \neq 0 \forall x \in (a,b), tiam ekzistas almenaŭ unu punkto x_0\quad en (a,b)\quad tia, ke:

\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)}

Teoremo pri konstanta funkcio[redakti | redakti fonton]

Funkcio estas konstanta en iu intervalo [a,b]\quad, s.n.s. ĝi estas derivebla, kaj ĝia derivaĵo nulas en tia intervalo (a,b)\quad.

Tiu aserto estas konsekvenco de la difino de la derivaĵo, kaj apliko de la teoremo de Lagrange.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]