Derivaĵo (matematiko)

Tanĝanta linio ĉe punkto. Por kalkuli la derivaĵon de punto al kurbo oni konverĝas la inkrementon de la inkrementa rilatumo al 0. Jen grafike kion signifas: la grizaj linioj estas la simulo de la konverĝo.

Derivaĵo estas unu el la bazaj konceptoj de analitiko kaj infinitezima kalkulo, kune kun la integralo. La derivaĵo de funkcio ĉe iu ajn punkto estas la angula koeficiento de la grafeo de la funkcio ĉe tiu punkto.

Difino kaj simbolaroj

Tanĝanta linio al kurbo. La angula koeficiento de tia linio estas la derivaĵo de la funkcio ĉe la punkto.

En analitiko la derivaĵo de reala funkcio de reala variablo $f(x)\quad$ en la punkto $x_0\quad$ estas difinita kiel la limeso de la inkrementa rilatumo konverĝanta al 0 de h, se ĝi ekzistas kaj estas finia.

Pliprecize, funkcio $f(x)\quad$ difinita en ĉirkaŭaĵo $x_0\quad$ estas derivebla en la punkto $x_0\quad$ se ekzistas kaj estas finia la limeso:

${\mathop {\lim_{h \to 0}} {{f\left( {x_0 + h} \right) - f\left( x_0 \right)} \over h}}$

La valoro de ĉi tiu limeso nomiĝas derivaĵo de la funkcio en la punkto $x_0\quad$. Se funkcio $f(x)\quad$ estas derivebla en ĉiu punkto de la intervalo $(a,b)\quad$, tiam oni diras, ke la funkcio estas derivebla en $(a,b)\quad$.

La derivaĵo en la punkto $x_0\quad$ estas indikita per unu el la sekvaj simbolaroj:

• Laŭ la simbolaro de Lagrange

$f ^{\prime} (x_0).$

• Laŭ la simbolaro de Cauchy

$\operatorname D \left[{f}({x_0})\right].$

• Laŭ la simbolaro de Leibniz:

$\frac {\mathrm d f(x_0)}{\mathrm d x}.$

• Historie la unua simbolaro estas ankoraŭ uzata en fiziko:

$\left(\frac {\mathrm d f}{\mathrm d x} \right)_{(x_0)}.$

• Laŭ la simbolaro de Newton, derivaĵo rilate al la tempo t:

$\dot f(t_o).$

Maldekstra kaj dekstra derivaĵo

Nomiĝas maldekstra derivaĵo de f en x₀:

$f'_-(x_0) = \lim_{h \to 0^-}{{f(x_0+h)-f(x_0)}\over{h}}$

Nomiĝas dekstra derivaĵo de f en x₀:

$f'_+(x_0) = \lim_{h \to 0^+}{{f(x_0+h)-f(x_0)}\over{h}}$

Funkcio estas derivebla en $x_0\quad$, se kaj nur se ekzistas la maldekstra kaj dekstra derivaĵoj, kiuj estas egalaj.

Teoremoj

Teoremo de Fermat

Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Teoremo de Fermat pri kritaj punktoj.

Estu:

• $f(x)\quad$ derivebla funkcio, do kontinua en $x_0\quad$, kie
• $x_0\quad$ estas interna punkto al fonto-aro de la funkcio f, kaj
• $x_0\quad$ estas maksimumo aŭ minimumo de la funkcio f,

tiam la derivaĵo de la funkcio en $x_0\quad$ estas nula, tio estas $f'(x_0) = 0\quad$.

Teoremo de Rolle

Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Teoremo de Rolle.

Estu $f(x)\quad$ kontinua funkcio en $[a,b]\quad$ kaj derivebla en $(a,b)\quad$. Se $f(a) = f(b)\quad$, tiam ekzistas almenaŭ unu punkto $x_0\quad$ en la intervalo $(a,b)\quad$, kies derivaĵo nuliĝas.

Teoremo de Lagrange

Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Teoremo de Lagrange.

Estu $f(x)\quad$ kontinua funkcio en $[a,b]\quad$ kaj derivebla en $(a,b)\quad$. Ekzistas almenaŭ unu punkto $x_0\quad$ en la intervalo $(a,b)\quad$, kies derivaĵo egalas al $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

Teoremo de Cauchy

Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Teoremo de Cauchy.

Estu $f(x)\quad$ kaj $g(x)\quad$ kontinuaj funkcioj en $[a,b]\quad$ kaj deriveblaj en $(a,b)\quad$ kaj $g'(x) \neq 0 \forall x \in (a,b)$, tiam ekzistas almenaŭ unu punkto $x_0\quad$ en $(a,b)\quad$ tia, ke:

$\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)}$

Teoremo pri konstanta funkcio

Funkcio estas konstanta en iu intervalo $[a,b]\quad$, s.n.s. ĝi estas derivebla, kaj ĝia derivaĵo nulas en tia intervalo $(a,b)\quad$.

Tiu aserto estas konsekvenco de la difino de la derivaĵo, kaj apliko de la teoremo de Lagrange.

Vidu ankaŭ

• Derivado
• Diferencialo
• Derivaĵo de ne entjera ordo
• Formulo de Faà di Bruno
• Parta derivaĵo
• Simetria derivaĵo