Perioda funkcio

Perioda funkcio – intuicie, funkcio, de kiu valoro ripetas en konstantaj spacoj. Klasika ekzemplo de perioda funkcio estas funkcio sinuso kaj kosinuso.

Periodaj funkcioj uzas por modeli periodajn fenomenojn en fiziko, ekzemple movo de pendolo aŭ de planedo, sed ankaŭ en biologio, ekonomio kaj aliaj sciencfakoj.

Difino

Estu $D\subset\mathbb{R}$ kaj estu $f\colon D\to\mathbb{R}$ funkcio kun realaj valoroj difinitaj en aro D. Periodo de funkcio f estas laŭvola nombro T alia ol nulo (oni povas aldoni kondiĉon, ke $T >0$) kun subaj ecoj:

1. por ĉiu nombro $x\in D$, ankaŭ nombroj $x+T,x-T$ estas en D (ne ĉiam kondiĉo $x-T$ ne estas devigita)
2. por ĉiu nombro $x\in D$ ekvacio $f(x + T) = f(x)$ estas ĉiam vera.

Se ia funkcio havas periodo tiam oni estas nomata kiel perioda funkcio. Funkcio kun periodo T ofte nomas T-perioda funkcio. Se en pozitivaj periodoj de funkcio, egzistas plej malgranda, ĝi estas nomata baza periodo'.

Rimarkoj

• Funkcio ne devas havi bazan periodon, ekzemple por funkcio de Direchlet, donita per formulo:

$f(x) = \left \{ \begin{matrix} 1, & \mbox{kiam }x\mbox{ estas racionala nombro} \\ 0, & \mbox{kiam }x\mbox{ ne estas racionala nombro} \end{matrix} \right.$,

periodo de ĉi tiu funkcio estas ĉiu nenula racionala nombro, kaj nur tiuj.

• unua kondiĉo (a) kaŭzas ke fonto-aro de perioda funkcio devas esti specifa strukturo. Ekzemple funkcioj kun barita fonto-aro ne povas esti perioda.Kondiĉo $x-T\in D$ (ne ĉiam devigita), kaŭzas ke fonto-aro estas ne nur ekde ia punkto al pozitiva senfineco sed ankaŭ al negativa.
• Ne estas devigita doni kondiĉon $f(x-T)=f(x)$ ĉar ĝi rekte rezultas el $f(x + T) = f(x)$ ĉar se anstataŭas x per $x - T$ estos: $f(x) = f((x - T) + T) = f(x - T)$
• Se $T$ estas periodo, tiam ĉiu entjera multipliko de $T$ estas ankaŭ periodo de funkcio.

Difino por Duongrupoj

Estu $(G,*)$ duongrupo, kaj $f\colon G\to Y$. Se ekzistas tian elementon $T$ en $G$ (kaj ĝi ne estas neŭtra elemento), ke $f(x*T)=f(x)$ por laŭvola $x\in G$, tiam nomita ĝin periodo de funkcio $f$, kaj funkcio estas nomata kiel perioda.

Rimarku, ke difino ne ĝeneralas de difino donita supere, ĉar ne kondiĉas ke ekzistas egalo por $x-T$. Sed se $G$ estas grupo, tiu kondiĉo estas aŭtomate plenumita.

Vidu ankaŭ

• Preskaŭ perioda funkcio