Beta-funkcio

Ĉi tiu artikolo temas pri la Eŭlera beta-funkcio, konvencie skribata Β(x,y). Ekzistas ankaŭ aliaj beta-funkcioj en matematiko kaj fiziko.

La matematika beta-funkcio, alinome Eŭlera integralo de la unua speco, estas speciala funkcio, kiun oni difinas por kompleksaj nombroj x kaj y kun pozitiva reela parto:

$\mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt \!$

kiam

$\textrm{Re}(x), \textrm{Re}(y) > 0\,$

La beta-funkcion studis Leonhard Euler kaj Adrien-Marie Legendre, kaj la nomon al ĝi donis Jacques Binet. Ekzistas ankaŭ ĝeneraligo de la funkcio, t.n. nekompleta beta-funkcio kaj ties variaĵo reguligita nekompleta beta-funkcio.

Ecoj de la funkcio

• $\mathrm B(x,y) = \mathrm B(y,x)\;$, t.e., la funkcio estas simetria.

• $\Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) = \dfrac{\pi}{x \sin(\pi y)}, \!$

La funkcio povas esti prezentita ankaŭ per sekvaj formuloj

$\mathrm B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$

$\mathrm B(x,y)=2\int\limits_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta\,d\theta, \qquad{\mathrm Re}(x)>0,\ {\mathrm Re}(y)>0$

$\mathrm B(x,y)=\int\limits_0^\infty\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt, \qquad{\mathrm Re}(x)>0,\ {\mathrm Re}(y)>0$

$\mathrm B(x,y)=\frac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(y)_{n+1}}{n!(x+n)}\quad\mathrm{kaj}\quad (x)_n=x(x-1)(x-2)\ldots(x-n+1)$

$\Beta(x,y) = \frac{x+y}{x y} \prod_{n=1}^\infty \left( 1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1}, \!$

Derivaĵo

${\partial \over \partial x} \mathrm{B}(x, y) = \mathrm{B}(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \mathrm{B}(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y))$

kie $\ \psi(x)$ estas la digamma-funkcio.

Aproksimaĵo

Oni povas aproksimi la beta-funkcion per la formulo de Stirling:

$\Beta(x,y) \sim \sqrt {2\pi } \frac{{x^{x - \frac{1}{2}} y^{y - \frac{1}{2}} }}{{\left( {x + y} \right)^{x + y - \frac{1}{2}} }}$

por grandaj: x kaj y.

Sed se x estas granda kaj y estas konstanta, tiam validas

$\Beta(x,y) \sim \Gamma(y)\,x^{-y}.$

Nekompleta beta-funkcio

La nekompleta beta-funkcio, estas ĝeneraligo de la beta-funkcio kaj difinita kiel

$\Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt. \!$

Por x = 1, la nekompleta funkcio egalas al la kompleta funkcio.

Reguligita (senkompleta) beta-funkcio estas difinita kiel

$I_x(a,b) = \dfrac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)}. \!$

Integrante la formulon, oni ricevas por entjeraj a kaj b:

$I_x(a,b) = \sum_{j=a}^{a+b-1} {(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!} x^j (1-x)^{a+b-1-j}.$

Pri la reguligita beta-funkcio validas

$I_0(a,b) = 0 \,$

$I_1(a,b) = 1 \,$

$I_x(a,b) = 1 - I_{1-x}(b,a) \,$