Funkcio de Möbius

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Matematikaj funkcioj
Fonto-aro, Celo-aro, Bildo, Kontraŭcelo-aro
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζηW de Lambertde Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecoenĵetecosurĵetecoensurĵeteco
kontinuecoderivaĵecoinegralebleco

En matematiko, funkcio de Möbius μ(n) estas multiplika funkcio, uzata en nombroteorio kaj kombinatoriko.

Ĝi estas nomita en honoro de germana matematikisto August Ferdinand Möbius, kiu unue prezentis ĝin en 1831.

Difino[redakti | redakti fonton]

Funkcio de Möbius μ(n) estas difinita por ĉiuj pozitivaj entjeroj n, ĝia valoro je ĉi ĉiu argumento estas unu le nombroj -1, 0, 1 depende de la faktorigo de n en primajn faktorojn:

  • μ(n) = 1 se n estas kvadrato-libera pozitiva entjero kun para kvanto de malsamaj primaj faktoroj.
  • μ(n) = -1 se n estas kvadrato-libera pozitiva entjero kun malpara kvanto de malsamaj primaj faktoroj.
  • μ(n) = 0 se n estas ne kvadrato-libera.
  • μ(1) = 1
  • μ(0) estas nedifinita.

Valoroj de μ(n) por n=1, 2, 3, ... estas:

1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, -1, 1, 1, 0, -1, 0, -1, 0, 1, 1, -1, 0, 0, ...
MoebiusMu.PNG
Grafikaĵo de funkcio de Möbius

μ(n) = 0 se kaj nur se n estas dividebla per kvadrato (ne kvadrato-libera). La unuaj nombroj kun ĉi tiu propraĵo estas:

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63,...

Se n estas primo do μ(n) = -1, sed la reo ne estas vera. La unua ne primaj n por kiu μ(n) = -1 estas 30 = 2·3·5. La unuaj ĉi tiaj nombroj kun 3 malsamaj primaj faktoroj estas:

30=2·3·5, 42=2·3·7, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, …

La unuaj ĉi tiaj nombroj kun 5 malsamaj primaj faktoroj estas:

2310=2·3·5·7·11, 2730=2·3·5·7·13, 3570=2·3·5·7·17, 3990=2·3·5·7·19, 4290=2·3·5·11·13, 4830=2·3·5·7·23, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, …

La unuaj ĉi tiaj nombroj kun 7 malsamaj primaj faktoroj estas:

510510=2·3·5·7·11·13·17, 570570=2·3·5·7·11·13·19, ...

Trajtoj[redakti | redakti fonton]

La funkcio de Möbius estas multiplika funkcio, kio estas ke μ(ab) = μ(a) μ(b) por ĉiuj a kaj b kiuj estas interprimoj.

La sumo tra ĉiuj pozitivaj divizoroj de n de la funkcio de Möbius estas nulo se n≠1:

\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1, & \mbox{se }n=1 \\ 0, & \mbox{se }n>1 \end{cases}

Ĉi tio estas konsekvenco de tio ke ĉe ĉiu ne-malplena finia aro estas ĝuste same multaj subaroj kun para kvanto de eroj kiel multaj estas subaroj kun nepara kvanto de eroj. Ĉi tio kondukas al la inversiga formulo de Möbius kaj estas la ĉefa kaŭzo kial la funkcio de Möbius estas uzata en teorio de multiplikaj kaj aritmetikaj funkcioj.

En nombroteorio, la alia aritmetika funkcio proksime rilatanta al la funkcio de Möbius estas la funkcio de Mertens, difinita kiel

M(n) = \sum_{k = 1}^n \mu(k)

por ĉiu natura nombro n. Ĉi tiu funkcio estas proksime ligita kun la pozicioj de nuloj de la rimana ζ funkcio. Vidu ankaŭ en konjekto de Mertens pri la ligo inter M(n) kaj la rimana hipotezo.

La serio de Lambert por la funkcio de Möbius estas

\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)q^n}{1-q^n} = q

La serio de Dirichlet kiu generas la funkcion de Möbius estas la multiplika inverso de la rimana ζ funkcio

\sum_1^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta(s)}

Ĉi tion eblas vidi de ĝia eŭlera produto

\frac{1}{\zeta(s)} = \prod_{p\in \mathbb{P}}{\left(1-\frac{1}{p^{s}}\right)}= \left(1-\frac{1}{2^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{5^{s}}\right)\dots

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]