Funkcio de eraro

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Matematikaj funkcioj
Fonto-aro, Celo-aro, Bildo, Kontraŭcelo-aro
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζηW de Lambertde Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecoenĵetecosurĵetecoensurĵeteco
kontinuecoderivaĵecoinegralebleco
Grafikaĵo de funkcio de eraro (erf)
Grafikaĵo de komplementa funkcio de eraro (erfc)

Funkcio de eraro de Gauss — ne fundamenta funkcio, kiu estas en probablokalkulo, statistiko kaj en teorio de parta diferenciala ekvacio. Ĝi estas difinita kiel:

\text{erf}\left(x\right)={2\over\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-t^2}\,\mathrm dt

Funkcio \text{erf} estas strikte kunigita kun koopta funkcio de eraro \text{erfc}:

\text{erfc}\left(x\right) \equiv1-\text{erf}\left(x\right)
={2\over\sqrt\pi}\int_x^\infty e^{-t^2}\,\mathrm dt

Oni povas difini ankaŭ kompleksan funkcion de eraro w\left(x\right), ĝi estas ankaŭ nomata kiel funkcio de Faddeeva:

w(x)=e^{-x^2}\text{erfc}\left(-ix\right)

Ecoj[redakti | redakti fonton]



Serio de Taylor[redakti | redakti fonton]

La funkcio de eraro povas esprimi kiel disvolvo en serio de Taylor:

\text{erf}\left(x\right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)n!}=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right)

por ĉiu reala x.

Por |x|\ll1, valoro de funkcio de eraro povas facile kalkuli uzante:

\text{erf}\left(x\right)
={2\over\sqrt\pi}e^{-x^2}\sum_{n=0}^\infty{2^n\over\left(2n+1\right)!!}x^{2n+1}
={2\over\sqrt\pi}e^{-x^2}\left(x+{2x^3\over1\cdot3}+{4x^5\over1\cdot3\cdot5}+{8x^7\over1\cdot3\cdot5\cdot7}+\cdots\right)

kaj k!! signifas Duopa faktorialo de k.

Por |x|\gg1, facila estas suba disvolvo:

\text{erf}\left(x\right)
=1-{e^{-x^2}\over\sqrt\pi}\sum_{n=0}^\infty{(-1)^n(2n-1)!!\over2^n}x^{-2n-1)}
=1-{e^{-x^2}\over\sqrt\pi}\left({1\over x}-{1\over2x^3}+{1\cdot3\over4x^5}-{1\cdot3\cdot5\over8x^7}+\cdots\right)

Tabelo de valoroj[redakti | redakti fonton]

x erf(x) erfc(x) x erf(x) erfc(x)
0.00 0.0000000 1.0000000 1.30 0.9340079 0.0659921
0.05 0.0563720 0.9436280 1.40 0.9522851 0.0477149
0.10 0.1124629 0.8875371 1.50 0.9661051 0.0338949
0.15 0.1679960 0.8320040 1.60 0.9763484 0.0236516
0.20 0.2227026 0.7772974 1.70 0.9837905 0.0162095
0.25 0.2763264 0.7236736 1.80 0.9890905 0.0109095
0.30 0.3286268 0.6713732 1.90 0.9927904 0.0072096
0.35 0.3793821 0.6206179 2.00 0.9953223 0.0046777
0.40 0.4283924 0.5716076 2.10 0.9970205 0.0029795
0.45 0.4754817 0.5245183 2.20 0.9981372 0.0018628
0.50 0.5204999 0.4795001 2.30 0.9988568 0.0011432
0.55 0.5633234 0.4366766 2.40 0.9993115 0.0006885
0.60 0.6038561 0.3961439 2.50 0.9995930 0.0004070
0.65 0.6420293 0.3579707 2.60 0.9997640 0.0002360
0.70 0.6778012 0.3221988 2.70 0.9998657 0.0001343
0.75 0.7111556 0.2888444 2.80 0.9999250 0.0000750
0.80 0.7421010 0.2578990 2.90 0.9999589 0.0000411
0.85 0.7706681 0.2293319 3.0 0.9999779 0.0000221
0.90 0.7969082 0.2030918 3.10 0.9999884 0.0000116
0.95 0.8208908 0.1791092 3.20 0.9999940 0.0000060
1.00 0.8427008 0.1572992 3.30 0.9999969 0.0000031
1.10 0.8802051 0.1197949 3.40 0.9999985 0.0000015
1.20 0.9103140 0.0896860 3.50 0.9999993 0.0000007

Referencoj[redakti | redakti fonton]

  • Milton Abramowitz-a kaj Ireno A. Stegun, eds. Gvidlibro de Matematikaj Funkcioj kun Formuloj, Grafikaĵoj, kaj Matematikaj Tabeloj. (Novjorko): Dovero, 1972. (Vidi Ĉapitro 7)

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]