Integralebla funkcio

Integralebla funkcio – funkcio, por kiu egzistas integralo laŭ senco de ia teorio. Ekzemple estas integralebleco laŭ Riemann, laŭ Lebesgue, laŭ Stieltjes kaj aliaj. Tamen malgraŭ tio ke teorioj de integraleblaj funkcioj (en diversaj sencoj) estas tre grandaj, plej ofte integraleco signifas laŭ senco de Mezurteorio kiu estas skribita sube. Ĝi estas presakaŭ rekta ĝenralo de integralebleco laŭ Stieltjes.

Difinoj

Estu $(X,{\mathcal F},\mu)$ σ-algebro.

• Simpla funkcio estas funkcio $f:X\longrightarrow {\mathbb R}$ tiel, ke por iaj realaj nombroj $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}$ kaj por disaj aroj $A_1,A_2,\ldots,A_n\in {\mathcal F}$ estas

$f(x) = \left \{ \begin{matrix} c_i &\ \ x\in A_i, \ i=1,\ldots,n\\ 0 &\ \ x\in X\setminus\bigcup\limits_{i=1}^n A_i \\ \end{matrix} \right .$

por ĉiuj $x\in X$.

Se aldone ankaŭ $\mu(A_i)<\infty$ (por $i=1,\ldots,n$) tiam, funkcio f estas integralebla simpla funkcio kaj integralo de f laŭ mezuro $\mu$ estas difinita kiel:

$\int f\ d\mu=\sum\limits_{i=1} ^{n} c_i\mu(A_i)$.

• Rimarku, ke kolekto de integraleblaj simplaj funkcioj estas sendependa de lineara kombinaĵo kaj absoluta valoro, ekzemple, se $f_1,f_2$ estas integraleblaj simplaj funkcioj, tiam $|f_1-f_2|$ ankaŭ estas.

• Estu $g:X\longrightarrow {\mathbb R}$ mezurebla funkcio (kaj sur ${\mathbb R}$ estas σ-korpo de algebro de Borel). Tiam, funkcio g estas integralebla laŭ senco de mezuro $\mu$ se oni povas trovi vico de integraleblaj simplaj funkcioj $(f_n)_{n\in{\mathbb N}}$ kiuj plenumas subajn kondiĉojn:

(a) por ĉiu pozitiva $\varepsilon>0$ egzistas $N\in {\mathbb N}$ tia, ke $\int |f_n-f_m|\ d\mu <\varepsilon$ por ĉiuj $n,m>N$

(b) por ĉiu pozitiva $\varepsilon>0$,

$\lim\limits_{n\to\infty} \mu f\left(\left\{x\in X:|f_n(x)-g(x)|\geqslant\varepsilon\right\}\right)=0$.

Tiam difino de Integralo de g laŭ mezuro $\mu$ estas:

$\int g\ d\mu=\lim\limits_{n\to\infty} \int f_n\ d\mu$.

• Inverse, se g estas integralebla (laŭ mezuro $\mu$), tiam $\int g\ d\mu$ estas korekte difinita, alinome: por ĉiu vico de integraleblaj simplaj funkcioj $(f_n)_{n\in{\mathbb N}}$ kiuj plenumas kondiĉoj (a) kaj (b) (supere montrita) valoro de limeso $\lim\limits_{n\to\infty} \int f_n\ d\mu$ estas ĉiam sama.

Rimarkoj

• En matematiko eblecoj por enkonduki interalojn kaj integraleblecon estas kelkaj. Kutime diferencoj inter ili estas teknika kaj ili havas homogenajn difinojn.
• Kondiĉo (a) en supera difino de funkcio, signifas ke vico $(f_n)_{n\in{\mathbb N}}$ estas en cetera senco vico de Cauchy. Ĉar: Konsideru funkcio ρ difinita sur paroj de integraleblecajn simplajn funkciojn per kondiĉo $\rho(g,g')=\int |g-g'|\ d\mu$. Tiam ρ estas simetria kaj plenumas neegalaĵon de triangulo kaj ankaŭ, ke $g=g'$.
• Kondiĉo (b) en supera difino, signifas ke vico $(f_n)_{n\in{\mathbb N}}$ estas konverĝa en seco de mezuro de funkcio f.

Fundamentaj ecoj

Kiel supren, estu $(X,{\mathcal F},\mu)$ mezurebla spaco kun mezuro.

• Se $f,g:X\longrightarrow {\mathbb R}$ estas integraleblecaj, tiam lineara kombinaĵo de ili $\alpha f+\beta g$ (por $\alpha,\beta\in {\mathbb R}$) kaj $|f|$ estas ankaŭ integralebleca.
• Se $f,g:X\longrightarrow {\mathbb R}$, f estas mezurebla, g estas integralebla kaj $\mu(\{x\in X:g(x)<|f(x)|\})=0$, tiam, f estas integralebla (an. mezurebla funkcio, de kiu absoluta valoro estas preskaŭ ĉie pli granda ol integralebla funkcio estas integralebla). Ankaŭ pli:

$-\int g\ d\mu\leqslant \int f\ d\mu\leqslant \int g\ d\mu$.

• Mezurebla funkcio f estas integralebla tiam kaj nur tiam, kiam absoluta valoro de ĝi $|f|$ estas integralebla.

• Teoremo de Lebesgue pri barita konverĝeco: Konsideru, ke:

(a) $(f_n)_{n\in{\mathbb N}}$ estas vico de integraleblaj funkcioj, kiu konverĝas preskaŭ ĉie al funkcio f

(b) g estas integralebla funkcio, tiel ke $(\forall n\in {\mathbb N})(\forall x\in X)(|f_n(x)|\leqslant |g(x)|)$.

Tiam f estas integralebla funkcio. Kaj ankaŭ pli $\lim_n \int f_n d\mu = \int f d\mu$.

• Lemato de Fatou: Se $(f_n)_{n\in{\mathbb N}}$ estas ne malpozitiva vico de integraleblaj funkcioj, tiel ke $\liminf_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu<\infty$, tiam funkcio $f:X\longrightarrow {\mathbb R}\cup\{\infty\}$ difinita per

$f(x)=\liminf_{n \to \infty} f_n(x)$ por $x\in X$

estas integralebla. Kaj pli $\int f\ d\mu\leqslant \liminf\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu$.