Funkcio η

Por samtitolaj artikoloj vidu la paĝon Funkcio de Dirichlet.

Funkcio η (aŭ funkcio η de Dirichlet — funkcio definita por kompleksaj argumentoj, kiel:

$\eta(z)=\left(1-2^{1-z}\right)\zeta(z)$

kaj $\zeta(z)$ - funkcio ζ de Riemann.

Ceteraj difinoj

• Difino per senfina serio:

  $\eta(z)=\sum_{n=1}^{+\infty}{(-1)^{n-1}\over n^z}.$

• Difino per integralo:

  $\eta(z)={1\over\Gamma(z)}\int\limits_0^{+\infty}{x^{z-1}\over\exp(x)+1}\,dx$

  kaj $\Gamma(z)$ — funkcio Γ

Ecoj

• Reala parto de funkio η kaj reala parto de funkcio kun kompleksa konjugita argumento estas sama:

  $Re(\eta(z))=Re(\eta(z^*))$

• Imaginara parto de funkio kaj imaginara parto de funkio kun kompleksa konjugita argumento estas kontraŭa:

  $Im(\eta(z))=-Im(\eta(z^*))$

• Limeso en senfino egalas 1:

  $\lim_{Re(z)\to\infty}\eta(z)=1$

• Rekte videbla estas, ke (el supraj ecoj):

  $\lim_{Re(z)\to\infty}Re(\eta(z))=1$

  $\lim_{Re(z)\to\infty}Im(\eta(z))=0$.

Grafikaĵoj

• 

  η(x) por realaj nombroj. Imaginara parto estas nulo

• 

  Grafikaĵo de funkcio η(z) por tuta kompleksa surfaco.