Rimana ζ funkcio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Pri la aliaj funkcioj estas skribataj per la litero ζ rigardu en funkcio ζ (apartigilo).

Matematikaj funkcioj
Fonto-aro, Celo-aro, Bildo, Kontraŭcelo-aro
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζηW de Lambertde Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecoenĵetecosurĵetecoensurĵeteco
kontinuecoderivaĵecoinegralebleco

Funkcio: zeto de Riemann – unu el specialaj funkcioj, nomita post Bernhard Riemann kaj difinata per formulo:

{\zeta}( z ) = \sum_{n = 1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} \right)^z

Serio estas konverĝa por z-oj , kiuj reala parto estas pli granda ol 1. Por la aliaj z estas uzata la analitika vastigaĵo.

Kun funkcio estas kunigata unu el plej gravaj problemoj de hodiaŭa matematiko – hipotezo de Riemann.

Ecoj[redakti | redakti fonton]

Por nombroj z kiuj havas realan parton malpli granda ol 1, valoro de funkcio ζ povas esti kalkulita el formulo:

{\zeta}( z ) = 2^z \pi^{( \frac{1}{z} )} \Gamma ( 1 - z){\zeta}( 1 - z )

kaj \Gamma estas funkcio Γ de Euler.


Diagramo de ζ(x)[redakti | redakti fonton]

Zeta.png

Kelkaj valoroj[redakti | redakti fonton]

\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots = \frac{\pi^2}{6}
\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \ldots = \frac{\pi^4}{90}
\zeta(8) = 1 + \frac{1}{2^8} + \frac{1}{3^8} + \ldots = \frac{\pi^8}{9450}

La funkcio Zeto kiel Malfinia Produto[redakti | redakti fonton]

Ojler montris ke

\zeta(z)=\prod_{\text{prima } p}(1-\frac{1}{p^z})^{-1}=(1-\frac{1}{2^z})^{-1}(1-\frac{1}{3^z})^{-1}(1-\frac{1}{5^z})^{-1}\ldots

Ĉi tiu formulo veras por ĉiu z kies reela parto estas pli ol 1.

Ojler deduktis tion sekvamaniere. Unue, rimarku ke

\zeta(z)=1+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}\ldots \implies\zeta(z)\frac{1}{2^z}=\frac{1}{2^z}+\frac{1}{4^z}+\frac{1}{6^z}\ldots

Per subtraho, oni trovas

\zeta(z)(1-\frac1 {2^z})=1+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{5^z}\ldots

En la dekstra flanko, estas nur la malparaj entjeroj. Pro tio,

\zeta(z)(1-\frac1 {2^z})\frac{1}{3^z}=\frac{1}{3^z}+\frac{1}{9^z}+\frac{1}{15^z}+\ldots

Alia subtraho vidigas ke

\zeta(z)(1-\frac 1 {2^z})(1-\frac{1}{3^z})=1+\frac{1}{5^z}+\frac{1}{7^z}+\ldots

Ĉiu nombro dividebla per 3 estante subtrahita, supre restas nur la malparaj nombroj kiuj estas nedivideblaj per 3. Simile,

\zeta(z)(1-\frac1 {2^z})(1-\frac{1}{3^z})(1-\frac{1}{5^z})=1+\frac{1}{7^z}+\frac{1}{11^z}+\ldots

kie, en la dekstra flanko, aperas la entjeraj nombroj kiujn oni ne povas dividi per 2,35 (kaj nur tiuj).

Induktive, en la maldekstra flanko aperas la produto \zeta(z)\prod_{\text{prima }p} (1-\frac{1}{p^z}), kaj la dekstra nombra konverĝas al 1. Oni tuj atingas la proponatan egalecon.

Rimarko: la serio kiu definas \zeta konverĝas absolute, se la reala parto de z estas pli ol 1. Tio permesas montri que la dekstra limito estas 1.