Rimana ζ funkcio

Pri la aliaj funkcioj estas skribataj per la litero ζ rigardu en funkcio ζ (apartigilo).

---

Funkcio: zeto de Riemann – unu el specialaj funkcioj, nomita post Bernhard Riemann kaj difinata per formulo:

${\zeta}( z ) = \sum_{n = 1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} \right)^z$

Serio estas konverĝa por z-oj , kiuj reala parto estas pli granda ol 1. Por la aliaj z estas uzata la analitika vastigaĵo.

Kun funkcio estas kunigata unu el plej gravaj problemoj de hodiaŭa matematiko – hipotezo de Riemann.

Ecoj

Por nombroj $z$ kiuj havas realan parton malpli granda ol 1, valoro de funkcio ζ povas esti kalkulita el formulo:

${\zeta}( z ) = 2^z \pi^{( \frac{1}{z} )} \Gamma ( 1 - z){\zeta}( 1 - z )$

kaj $\Gamma$ estas funkcio Γ de Euler.

Diagramo de ζ(x)

Kelkaj valoroj

$\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots = \frac{\pi^2}{6}$

$\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \ldots = \frac{\pi^4}{90}$

$\zeta(8) = 1 + \frac{1}{2^8} + \frac{1}{3^8} + \ldots = \frac{\pi^8}{9450}$

La funkcio Zeto kiel Malfinia Produto

Ojler montris ke

$\zeta(z)=\prod_{\text{prima } p}(1-\frac{1}{p^z})^{-1}=(1-\frac{1}{2^z})^{-1}(1-\frac{1}{3^z})^{-1}(1-\frac{1}{5^z})^{-1}\ldots$

Ĉi tiu formulo veras por ĉiu $z$ kies reela parto estas pli ol $1$.

Ojler deduktis tion sekvamaniere. Unue, rimarku ke

$\zeta(z)=1+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}\ldots$ $\implies\zeta(z)\frac{1}{2^z}=\frac{1}{2^z}+\frac{1}{4^z}+\frac{1}{6^z}\ldots$

Per subtraho, oni trovas

$\zeta(z)(1-\frac1 {2^z})=1+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{5^z}\ldots$

En la dekstra flanko, estas nur la malparaj entjeroj. Pro tio,

$\zeta(z)(1-\frac1 {2^z})\frac{1}{3^z}=\frac{1}{3^z}+\frac{1}{9^z}+\frac{1}{15^z}+\ldots$

Alia subtraho vidigas ke

$\zeta(z)(1-\frac 1 {2^z})(1-\frac{1}{3^z})=1+\frac{1}{5^z}+\frac{1}{7^z}+\ldots$

Ĉiu nombro dividebla per $3$ estante subtrahita, supre restas nur la malparaj nombroj kiuj estas nedivideblaj per $3$. Simile,

$\zeta(z)(1-\frac1 {2^z})(1-\frac{1}{3^z})(1-\frac{1}{5^z})=1+\frac{1}{7^z}+\frac{1}{11^z}+\ldots$

kie, en la dekstra flanko, aperas la entjeraj nombroj kiujn oni ne povas dividi per $2,3$ aŭ $5$ (kaj nur tiuj).

Induktive, en la maldekstra flanko aperas la produto $\zeta(z)\prod_{\text{prima }p} (1-\frac{1}{p^z})$, kaj la dekstra nombra konverĝas al $1$. Oni tuj atingas la proponatan egalecon.

Rimarko: la serio kiu definas $\zeta$ konverĝas absolute, se la reala parto de $z$ estas pli ol $1$. Tio permesas montri que la dekstra limito estas $1$.