Inversa trigonometria funkcio

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Matematikaj funkcioj
Fonto-aro, Celo-aro, Bildo, Kontraŭcelo-aro
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζηW de Lambertde Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecoenĵetecosurĵetecoensurĵeteco
kontinuecoderivaĵecoinegralebleco

En matematiko, la inversaj trigonometriaj funkcioj estas la retroĵetoj de la trigonometriaj funkcioj. La ĉefaj estas jenaj:

Nomo Kutima skribmaniero Difino Domajno de x por reela rezulto Limigoj de kutima ĉefa valoro
Sinusarko y = arcsin(x) x = sin(y) −1 ≤ x ≤ 1 −π/2 ≤ y ≤ π/2
Kosinusarko y = arccos(x) x = cos(y) −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ π
Tangentarko y = arctan(x)
y = arctg(x)
x = tan(y) ĉiuj reelaj x −π/2 < y < π/2
Kotangentarko y = arccot(x)
y = arccotan(x)
y = arcctg(x)
x = cot(y) ĉiuj reelaj x 0 < y < π
Sekantarko y = arcsec(x) x = sec(y) −∞ < x ≤ −11 ≤ x < ∞ 0 ≤ y < π/2π/2 < y ≤ π
Kosekantarko y = arccsc(x)
y = arccosec(x)
x = csc(y) −∞ < x ≤ −11 ≤ x < ∞ −π/2 ≤ y < 00 < y ≤ π/2

Se x estas permesita al esti kompleksa nombro, tiam la supre donitaj limigoj de y aplikas nur al reelaj x.

La skribmaniero sin-1, cos-1, ktp estas ofte uzata por arcsin, arccos, ktp.

ArcSin and ArcCos.svg
La kutimaj ĉefaj valoroj de la arcsin(x) kaj arccos(x)
ArcTan and ArcCot.svg
La kutimaj ĉefaj valoroj de la arctan(x) kaj arccot(x)
ArcSec and ArcCsc.svg
La kutimaj ĉefaj valoroj de la arcsec(x) kaj arccsc(x)

En komputilaj programlingvoj la funkcioj arcsin, arccos, arctan estas kutime nomataj kiel asin, acos, atan. Multaj programlingvoj ankaŭ provizas la du-argumentan funkcion atan2, vidu sube pri ĝi.

Interrilatoj inter la inversaj trigonometriaj funkcioj[redakti | redakti fonton]

Komplementoj:

arccos x = π/2 - arcsin x
arccot x = π/2 - arctan x
arccsc x = π/2 - arcsec x

Negativaj argumentoj:

arcsin (-x) = - arcsin x
arccos (-x) = π - arccos x
arctan (-x) = - arctan x
arccot (-x) = π - arccot x
arcsec (-x) = π - arcsec x
arccsc (-x) = - arccsc x

Inversaj argumentoj:

arccos (1/x) = arcsec x
arcsin (1/x) = arccsc x
arctan (1/x) = π/2 - arctan x = arccot x , se x > 0
arctan (1/x) = -π/2 - arctan x = -π + arccot x , se x < 0
arccot (1/x) = π/2 - arccot x = arctan x , se x > 0
arccot (1/x) = 3π/2 - arccot x = π + arctan x , se x < 0
arcsec (1/x) = arccos x
arccsc (1/x) = arcsin x

Per arcsin:

\arccos x = \arcsin \sqrt{1-x^2}, se \ 0 \leq x \leq 1
\arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}

Rimarku ke kiam la kvadrata radiko de kompleksa nombro estas uzata ĉi tie, oni elektu la ĉefan valoron de la radiko (kun la pozitiva reela parto se imaginara parto estas nulo, alia kun la pozitiva imaginara parto).

De la tangenta duono-angula formulo \tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} sekvas:

\arcsin x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}
\arccos x = 2 \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x} se  -1 < x \leq +1
\arctan x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}

Tangentarka adicia formulo[redakti | redakti fonton]

\arctan u + \arctan v = \arctan \left( \frac{u+v}{1-uv} \right)

Pro la pruvo, startu de

\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}\,

kaj estu

 u\,=\,\tan\,\alpha\,,\,v =\,\tan\,\beta.

Ĝeneralaj solvaĵoj[redakti | redakti fonton]

Ĉiu trigonometriaj funkcioj estas periodaj en la reela parto de ĝia argumento, trapasanta ĉiujn siajn valorojn dufoje en ĉiu intervalo de . Ĉi tiu periodeco estas montrita en la ĝeneralaj inversoj:

sin y = x se kaj nur se y = arcsin x + 2kπy = π − arcsin x + 2kπ por iu entjero k.
cos y = x se kaj nur se y = arccos x + 2kπy = − arccos x + 2kπ por iu entjero k.
tan y = x se kaj nur se y = arctan x + kπ por iu entjero k.
cot y = x se kaj nur se y = arccot x + kπ por iu entjero k.
sec y = x se kaj nur se y = arcsec x + 2kπy = − arcsec x + 2kπ por iu entjero k.
csc y = x se kaj nur se y = arccsc x + 2kπy = π − arccsc x + 2kπ por iu entjero k.

Derivaĵoj de inversaj trigonometriaj funkcioj[redakti | redakti fonton]

Simplaj derivaĵoj de inversaj trigonometriaj funkcioj por reelaj kaj kompleksaj argumentoj estas:

\frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\frac{d}{dx} \arccos x = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}
\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2}
\frac{d}{dx} \arccot x = \frac{-1}{1+x^2}
\frac{d}{dx} \arcsec x = \frac{1}{x^2\,\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}
\frac{d}{dx} \arccsc x = \frac{-1}{x^2\,\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}

Nur por reelaj argumentoj:

\frac{d}{dx} \arcsec x = \frac{1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}
\frac{d}{dx} \arccsc x = \frac{-1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}

Ekzemplo de pruvo: estu \theta = \arcsin x \!, do:

\frac{d \arcsin x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sin \theta} = \frac{1} {\cos \theta} = \frac{1} {\sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Esprimo kiel difinitaj integraloj[redakti | redakti fonton]

Integraligo de la derivaĵo kaj fiksigo de la valoro je unu punkto donas esprimon por la inversa trigonometria funkcio kiel difinita integralo por reelaj valoroj de x:

\arcsin x = \int_0^x \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1
\arccos x = \int_x^1 \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1
\arctan x = \int_0^x \frac 1 {z^2 + 1}\,dz
\arccot x = \int_x^\infty \frac {1} {z^2 + 1}\,dz
\arcsec x = \int_1^x \frac 1 {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1
\arccsc x = \int_x^\infty \frac {1} {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1

Se x=1, la integraloj kun limigitaj domajnoj estas nepropraj integraloj, sed bone difinitaj.

Malderivaĵoj de inversaj trigonometriaj funkcioj[redakti | redakti fonton]

Malderivaĵoj de inversaj trigonometriaj funkcioj por reelaj kaj kompleksaj argumentoj estas:

 \int \arcsin x\,dx = x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C
 \int \arccos x\,dx = x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C
 \int \arctan x\,dx = x\,\arctan x - \frac{1}{2}\ln\left(1 + x^2\right) + C
 \int \arccot x\,dx = x\,\arccot x + \frac{1}{2}\ln\left(1 + x^2\right) + C
 \int \arcsec x\,dx = x\,\arcsec x - \ln\left(x\left(1 + \sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}\right)\right) + C
 \int \arccsc x\,dx = x\,\arccsc x + \ln\left(x\left(1 + \sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}\right)\right) + C

Por reelaj x≥1:

 \int \arcsec x\,dx = x\,\arcsec x - \ln\left(x + \sqrt{x^2-1}\right) + C
 \int \arccsc x\,dx = x\,\arccsc x + \ln\left(x + \sqrt{x^2-1}\right) + C

Ekzempla pruvo[redakti | redakti fonton]

Pro tio ke \int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u, rezultiĝas


\begin{align}
u &{}=&\arcsin x &\quad\quad\mathrm{d}v = \mathrm{d}x\\
\mathrm{d}u &{}=&\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}&\quad\quad{}v = x
\end{align}

Tiam

\int \arcsin x\,\mathrm{d}x = x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x

Integralado per anstataŭigo k = 1 - x^2\,. Tiam \mathrm{d}k = -2x\,\mathrm{d}x kaj

\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}k}{\sqrt{k}} = -\sqrt{k}

Rea anstataŭigo de x liveras je:

\int \arcsin x\,\mathrm{d}x = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}

Malfiniaj serioj[redakti | redakti fonton]

La inversaj trigonometriaj funkcioj povas esti kalkulitaj per malfinia serio:


\begin{align}
\arcsin z & {}= z + \left( \frac{1}{2} \right) \frac{z^3}{3} + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right) \frac{z^5}{5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7}{7} + \cdots\\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)}
; \qquad | z | \le 1
\end{align}

\begin{align}
\arccos z & {}= \frac {\pi} {2} - \arcsin z \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \left(z + \left( \frac{1}{2} \right) \frac{z^3}{3} + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right) \frac{z^5}{5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7}{7} + \cdots \right) \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)}
; \qquad | z | \le 1
\end{align}

\begin{align}
\arctan z & {}= z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots \\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}
; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i
\end{align}

\begin{align}
\arccot z & {}= \frac {\pi} {2} - \arctan z \\
& {}= \frac {\pi} {2} -\left( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots \right) \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}
; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i
\end{align}

\begin{align}
\arcsec z & {}= \arccos(z^{-1}) \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \left(z^{-1} + \left( \frac {1}{2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right) \frac{z^{-5}}{5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^{-7}} {7} + \cdots \right) \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {(2n+1)}
; \qquad | z | \ge 1
\end{align}

\begin{align}
\arccsc z & {}= \arcsin(z^{-1}) \\
& {}= z^{-1} + \left( \frac{1}{2} \right) \frac{z^{-3}}{3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z^{-5}}{5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac{z^{-7}}{7} + \cdots \\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {2n+1}
; \qquad | z | \ge 1
\end{align}

Estas pli kompetenta serio por la tangentarko de Leonhard Euler:

\arctan x = \frac{x}{1+x^2} \sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{2k x^2}{(2k+1)(1+x^2)}.

Rimarku ke la termo en la sumo por n=0 estas la malplena produto kiu estas 1.

Alternative, ĉi tio povas esti esprimita kiel:

\arctan x = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{\,2n}\,(n!)^2}{(2n+1)!} \; \frac{x^{\,2n+1}}{(1+x^2)^{n+1}}

Ĉenfrakcio por tangentarko[redakti | redakti fonton]

Alternativo al la potencoserio por tangentarko estas ĝia ĝeneraligita ĉenfrakcio:


\arctan(z)=\cfrac{z}{1 + \cfrac{z^2}{3 + \cfrac{4 z^2}{5 + \cfrac{9 z^2}{7 + \cfrac{16 z^2}{9 + \cfrac{25 z^2}{\ddots\,}}}}}}\,

Ĉi tio estas valida en la tranĉita kompleksa ebeno. Estas du tranĉoj, de -i al malfinio, suben laŭ la imaginara akso, kaj de i al malfinio supren laŭ la imaginara akso. Ĝiaj laboras plej bona por reelaj nombroj inter −1 kaj 1. La partaj denominatoroj estas la neparaj naturaj nombroj, kaj la partaj numeratoroj (post la unua) estas (nz)2. Ĝi estis ellaborita de Carl Friedrich Gauss per la supergeometria serio.

Manieroj de kalkulo[redakti | redakti fonton]

Por kalkuli tangentarkon por x proksima al nulo, uzi la ĉenfrakcion pli supre. Por kalkuli tangentarkon por aliaj valoroj de x:

\arctan x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}.

Por kalkuli sinusarkon:

\arcsin x = \arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.

Por kalkuli kosinusarkon:

\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x.

Por kalkuli kotangentarkon:

\arccot x = \frac{\pi}{2} - \arctan x.

Por kalkuli sekantarkon:

\arcsec x = \frac{\pi}{2} - \arcsin \frac{1}{x}.

Por kalkuli kosekantarkon:

\arccsc x = \arcsin \frac{1}{x}.

Duargumenta varianto de tangentarko[redakti | redakti fonton]

La duargumenta funkcio atan2 komputas la tangentarkon de y/x por donitaj y kaj x, sed kun limigo de rezulto (-π,π]. Ĝi estis prezentita unua en multaj komputilaj programlingvoj sed estas komuna ankaŭ por scienco kaj inĝenierado.

Ĝi estas difinita per la funkcio arctan (kiu havas limigon de la rezulto (−π/2, π/2)):

\operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases}
\arctan(\frac y x) & \qquad x > 0 \\
\pi + \arctan(\frac y x) & \qquad y \ge 0 , x < 0 \\
-\pi + \arctan(\frac y x) & \qquad y < 0 , x < 0 \\
\frac{\pi}{2} & \qquad y > 0 , x = 0 \\
-\frac{\pi}{2} & \qquad y < 0 , x = 0 \\
\text{undefined} & \qquad y = 0, x = 0 \\
\end{cases}

Ĉi tiu funkcio povas esti komputita per tangento de duona angulo:

\operatorname{atan2}(y, x)=2\arctan \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2} + x}

se ĉu x > 0 aŭ y ≠ 0. Tamen, en praktika realiga pli bonas uzi la signojn de x kaj y por elekti la korektan rezulton.

La pli supre donita ordo de argumentoj (y, x) aspektas al esti la plej komuna, kaj en aparte estas uzata en la programlingvo C, sed kelkaj aŭtoroj povas uzi la kontraŭa konvencion (x, y). Ankaŭ, IEEE flosantaj punktaj realigoj devas kontroli esceptajn ne-nombrajn argumentajn valorojn.

La funkcio atan2 povas esti realigita en ciferece fidinda maniero per la maniero CORDIC. Tial realigoj de atan(y) povas esti reale kiel atan2(y,1).

Kompleksaj logaritmaj formoj[redakti | redakti fonton]

Ĉi tiuj funkcioj povas ankaŭ esti esprimitaj per kompleksaj logaritmoj. Ĉi tiu etendas en natura maniero ilian domajnon al la kompleksa ebeno.

 \arcsin x = -i\,\log(i\,x+\sqrt{1-x^2}) = \arccsc \frac{1}{x}
 \arccos x = -i\,\log(x+\sqrt{x^2-1}) = \frac{\pi}{2}\,+i\log(i\,x+\sqrt{1-x^2}) = \frac{\pi}{2}-\arcsin x = \arcsec \frac{1}{x}
 \arctan x = \frac{i}{2}(\log(1-i\,x)-\log(1+i\,x)) = \arccot \frac{1}{x}
 \arccot x = \frac{i}{2}\left(\log\left(1 - \frac{i}{x}\right) - \log\left(1 + \frac{i}{x}\right)\right) = \arctan \frac{1}{x}
 \arcsec x = -i\,\log\left(\sqrt{\frac{1}{x^2}-1} + \frac{1}{x}\right) = i\,\log\left(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} + \frac{i}{x}\right) + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}-\arccsc x = \arccos \frac{1}{x}
 \arccsc x = -i\,\log\left(\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} + \frac{i}{x}\right) = \arcsin \frac{1}{x}

Ĉi tiuj formuloj sekvas de la trigonometriaj funkcioj per eksponenta funkcio, kiu veras por kompleksa argumento.

Ekzempla pruvo[redakti | redakti fonton]

\arcsin x\,=\,\theta
\frac{e^{i\,\theta}-e^{-i\,\theta}}{2i}\,=\,x (eksponenta funkcia difino de sinuso)

Estu

k=e^{i\,\theta}.

Tiam

\frac{k-\frac{1}{k}}{2i}\,=\,x
k^2-2\,i\,k\,x-1\,=\,0 (solvi por k)
k\,=\,i\,x\pm\sqrt{1-x^2}\,=\,e^{i\,\theta} (la pozitiva branĉo estas elektita)
\theta\,=\,\arcsin\,x\,=\,-i\log(i\,x+\sqrt{1-x^2}) kio estis pruvota

Praktika uzado[redakti | redakti fonton]

Inversaj trigonometriaj funkcioj estas utilaj por kalkuli angulojn de triangulo se estas sciataj longoj de lateroj de la triangulo, ekzemple per la leĝo de kosinusoj.

En orta triangulo, la funkcioj de rilatumoj de longoj de lateroj jam donas la angulon:

α = arcsin (a/c) = arccos (b/c) = arctan (a/b) = arccsc (c/a) = arcsec (c/b) = arccot (b/a)

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]